第18期 第7章 一元一次方程 小结与复习(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年七年级上册数学学案（青岛版）

书 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是１，等 号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，它的 一般形式是ａｘ＋ｂ＝０（ａ，ｂ都是常数，且ａ≠０）．依据这 一定义衍生出了许多求值问题，如何解答这些问题呢？ 让我们一起来学习吧！ 一、根据指数求值 例１　已知 －ｘ２ｍ－３＋１＝７是关于ｘ的一元一次方 程，则ｍ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．２ 分析：因为此方程是一元一次方程，所以 ｘ的次数 是１，即２ｍ－３＝１，解之即可得解． 解：由题意，得２ｍ－３＝１．解得ｍ＝２． 故选Ｄ． 二、根据系数求值 例２　若（ａ－４）ｘ＋１＝７是关于ｘ的一元一次方 程，求ａ的值． 分析：因为此方程是关于ｘ的一元一次方程，所以ｘ 的系数不为０，即ａ－４≠０． 解：由题意，得ａ－４≠０． 解得ａ≠４． 所以ａ的值为不等于４的任意数． 三、根据复合条件求值 例３　（２０２３九江一模）已知（ｋ－１）ｘ｜ｋ｜＋３＝０是 关于ｘ的一元一次方程，则ｋ的值为 ． 分析：由一元一次方程的定义可知，ｘ的次数是１，系数 不为０，即｜ｋ｜＝１，且ｋ－１≠０，解之即可得解． 解：由题意，得｜ｋ｜＝１，且ｋ－１≠０． 所以ｋ＝－１．故填 －１． 例４　若（６－ｍ）ｘ２＋３ｘｎ－１ ＝７是关于ｘ的一元一 次方程，求ｍ＋ｎ的值． 分析：由一元一次方程的定义可知，未知数的次数 为１，故ｎ－１＝１，二次项的系数为０，即６－ｍ＝０． 解：因为方程（６－ｍ）ｘ２＋３ｘｎ－１＝７是关于ｘ的一元 一次方程， 所以６－ｍ＝０，ｎ－１＝１． 解得ｍ＝６，ｎ＝２． 所以ｍ＋ｎ＝６＋２＝８． 书 数学思想是解题的金钥匙，掌握好数学思想，可以 提高同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识 解决实际问题的能力．现将一元一次方程中涉及到的比 较重要的数学思想介绍如下，以帮助同学们解题． 一、分类讨论思想 例１　书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超 过１００元，不享受打折优惠；②一次性购书超过１００元但 不超过２００元一律打九折；③一次性购书２００元以上一 律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款 ２２９．４元，第二次购书的原价是第一次购书原价的３倍， 那么小丽这两次购书原价的总和是 元． 解析：设小丽第一次购书的原价为 ｘ元，则第二次 购书的原价为３ｘ元．由ｘ的取值范围分段考虑，根据“付 款金额 ＝第一次付款金额 ＋第二次付款金额”即可列 出关于ｘ的一元一次方程，解方程即可得出结论． 设第一次购书的原价为ｘ元，则第二次购书的原价 为３ｘ元．根据题意，得 ①当ｘ大于０且小于等于１００３时，ｘ＋３ｘ＝２２９．４，解 得ｘ＝５７．３５（不符合题意，舍去）； ②当ｘ大于１００３ 且小于等于 ２００ ３ 时，ｘ＋０．９×３ｘ＝ ２２９．４，解得ｘ＝６２，经检验，ｘ＝６２（元）符合题意，此时 两次购书原价的总和为：４ｘ＝４×６２＝２４８（元）； ③当ｘ大于２００３且小于等于１００时，ｘ＋０．７×３ｘ＝ ２２９．４，解得ｘ＝７４，经检验，ｘ＝７４（元）符合题意，此时 两次购书原价的总和为：４ｘ＝４×７４＝２９６（元）． 综上所述，小丽这两次购书原价的总和是２４８元或 ２９６元．故填２４８或２９６． 二、数形结合思想 例２　 右图是一块在电脑屏幕 上出现的长方形色块图，它由６个颜 色不同的正方形组成．设中间最小的 一个正方形的边长为１，右下角的两 个正方形大小相同，则这个长方形色 块图的面积为 ． 解析：通过观察图形可以发现除了边长为１的正方 形外，其余５个正方形中，右下角的两个正方形大小相 同，故可设右下角两个大小相同的正方形的边长为ｘ，则 顺时针方向上的其余三个正方形的边长依次大１，即另 外三个正方形的边长依次为ｘ＋１，ｘ＋２，ｘ＋３． 根据长方形的对边相等，可得ｘ＋ｘ＋（ｘ＋１）＝（ｘ ＋２）＋（ｘ＋３）． 解得ｘ＝４．经检验，ｘ＝４符合题意． 所以（ｘ＋２）＋（ｘ＋３）＝１３，（ｘ＋２）＋（ｘ＋１）＝１１． 所以这个长方形色块图的面积为：１３×１１＝１４３．故 填１４３． 书 在解决与方程有关的问题 时，有时涉及看错系数或漏乘等 问题，需要将错就错加以求解． 下面举例说明． 一、看错号 例１　已知３ｍ－２ｘ＝７是 关于 ｘ的方程，在解这个方程 时，粗心的宇华误将 －２ｘ看作 ２ｘ，得方程的解为ｘ＝３，请你帮 宇华求出原方程的解． 分析：把ｘ＝３代入方程３ｍ ＋２ｘ＝７可求得ｍ的值，再把ｍ 的值代入方程３ｍ－２ｘ＝７，解方 程即可． 解：由题意，得ｘ＝３是方程 ３ｍ＋２ｘ＝７的解． 所以３ｍ＋６＝７． 解得ｍ＝ １３． 将ｍ＝ １３代入方程３ｍ－ ２ｘ＝７，得１－２ｘ＝７． 解得ｘ＝－３． 二、漏乘项 例２　小明解关于ｙ的一元一次方程３（ｙ＋ａ）＝２ｙ ＋４，在去括号时，将ａ漏乘