第17期 5.5 三角形内角和定理 5.6 几何证明举例(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 １７．（１）ＡＤ∥ ＥＦ． 理由如下： 因 为 ∠ＢＤＡ ＋ ∠ＣＥＧ ＝１８０°，∠ＢＤＡ ＋∠ＡＤＥ＝１８０°， 所 以 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＣＥＧ． 所以ＡＤ∥ＥＦ． （２）∠Ｆ＝∠Ｈ．理 由如下： 因 为 ＡＤ 平 分 ∠ＢＡＣ， 所 以 ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＡＤ． 因 为 ∠ＥＤＨ ＝ ∠Ｃ， 所以ＨＤ∥ＡＣ． 所 以 ∠Ｈ ＝ ∠ＣＧＨ． 因为ＡＤ∥ＥＦ， 所 以 ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＣＧＨ，∠ＢＡＤ＝∠Ｆ． 所以∠Ｈ＝∠Ｆ． １８．（１）５． （２）因为∠ＥＣＦ＝ ２５°，∠ＤＣＥ＝９０°， 所 以 ∠ＦＣＤ ＝ ∠ＤＣＥ－∠ＥＣＦ＝６５°． 因为ＣＦ⊥ＢＧ， 所 以 ∠ＢＣＦ ＝ ９０°． 所 以 ∠ＢＣＤ ＝ ∠ＦＣＤ ＋ ∠ＢＣＦ ＝ １５５°． （３）因为∠ＤＣＥ＝ ∠ＦＣＧ＝９０°， 所 以 ∠ＤＣＥ － ∠ＦＣＤ ＝ ∠ＦＣＧ － ∠ＦＣＤ，即 ∠ＥＣＦ ＝ ∠ＤＣＧ． 又因为ＤＣ∥ＡＢ， 所以∠Ｂ＝∠ＤＣＧ ＝∠ＥＣＦ＝２５°． 书 上期２版 ５．１定义与命题 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｂ； ５．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条 直线，那么这两条直线互相平行． ６．答案不惟一，如①②，③． 该命题是真命题．证明如下： 因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＣ． 在△ＡＢＥ和△ＤＢＣ中， 因为∠Ａ＝∠Ｄ，ＢＡ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＣ， 所以△ＡＢＥ≌△ＤＢＣ（ＡＳＡ）． 所以ＡＥ＝ＤＣ． ５．２为什么要证明 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｃ． ４．小明的猜想不正确．理由如下： 例如：当ｎ＝７时，ｎ２－６ｎ＝７＞０． ５．３什么是几何证明 基础训练　１．∠Ｃ；两直线平行，同位角相等；ＤＥ； ＡＣ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相 等． ２．因为ＡＢ，ＣＤ相交于点Ｏ（已知）， 所以∠ＡＯＣ＝∠ＤＯＢ（对顶角相等）． 因为ＯＥ，ＯＦ分别平分∠ＡＯＣ，∠ＤＯＢ（已知）， 所以∠１＝１２∠ＡＯＣ，∠２＝ １ ２∠ＤＯＢ（角平分线 的定义）． 所以∠１＝∠２（等量代换）． 因为∠ＡＯＦ＋∠２＝１８０°（平角的定义）， 所以∠ＡＯＦ＋∠１＝１８０°（等量代换）． 所以ＯＥ与ＯＦ在同一条直线上． ５．４平行线的性质定理和判定定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．２５； ５．∠２＝∠１＋７０°；　６．６３． ７．因为∠ＢＥＤ＝２∠ＡＥＤ，∠ＢＥＤ＝３０°， 所以∠ＡＥＤ＝ １２∠ＢＥＤ＝１５°． 因为ＢＤ∥ＡＥ， 所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＥＤ＝１５°． 因为ＤＥ平分∠ＡＤＢ， 所以∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ＝１５°． 因为ＥＤ⊥ＣＤ， 所以∠ＣＤＥ＝９０°． 所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ＋∠ＣＤＥ＝１０５°． 因为ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠Ｃ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝７５°． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ａ 二、９．两个角互为内错角，这两个角相等；　１０．５４°； １１．４８°；　１２．②；　１３．５５°；　１４．１０或２８． 三、１５．（１）如果两个角的和等于１８０°，那么这两 个角互为补角．是真命题． （２）如果两个数异号，那么这两个数相加等于零． 是假命题．如：ａ＝３，ｂ＝－２，ａ＋ｂ＝１≠０． （３）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同 旁内角互补．是真命题． １６．ＢＣ∥ＤＥ．理由如下： 延长ＢＣ交ＦＥ的延长线于点Ｇ，图略． 因为ＡＢ∥ＥＦ， 所以∠ＡＢＣ＝∠Ｇ． 因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ， 所以∠Ｇ＝∠ＤＥＦ． 所以ＢＣ∥ＤＥ． 书 “ＨＬ”可以判定直角三角形全等，但是一定要注意 它不是判定直角三角形全等的惟一方法，前面学习的判 定一般三角形全等的方法都适用于直角三角形．下面举 例加以说明． 一、运用“ＨＬ”判定直角三角形全等 例１　如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ＡＥ，ＤＥ⊥ ＡＢ．若∠ＢＤＥ＝４６°，则∠ＤＡＥ ＝ ． 分析：根据直角三角形的 性质求得 ∠Ｂ的度数，即可得 到∠ＢＡＣ的度数，再运用“ＨＬ”证明 △ＡＣＤ≌ △ＡＥＤ， 得到∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ即可得解． 解：因为ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°． 所以∠Ｂ＋∠ＢＤＥ＝９０°． 因为∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＝９０°． 所以∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ＝４６°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ和Ｒｔ△ＡＥＤ中，因为 ＡＤ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＥ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＡＥＤ（ＨＬ）． 所以∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ＝ １２∠ＢＡＣ＝２３°． 故填２３°． 二、运用“ＡＳＡ”或“ＡＡＳ”判定直角三角形全等 例２　 如图 ２，Ｒｔ△ＡＢＣ和 Ｒｔ△ＥＤＦ中，∠Ｂ＝∠Ｄ，在不添 加任何辅助线的情况下，请你添 加一个条件： ，使 Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＥＤＦ全等．