第16期 5.1 定义与命题-5.4 平行线的性质定理和判定定理(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（青岛版）

书 第一步、证明的定义 从已知条件出发，依据学过的定义、基本事实、定理 等，按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推 理，演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明．推理和 证明是有区别的，推理是证明过程的组成部分，一个证 明过程往往包含多个推理． 第二步、证明的结构 １．证明的基本结构是： 因为……（　　）， 所以……（　　）． “（　　）”里面写由因得果的依据，即“理由”． 例如，因为∠１和∠２是对顶角（已知）， 所以∠１＝∠２（对顶角相等）． 证明由“因”、“果”和“理由”三部分组成． ２．推理的形式有三种． （１）一因一果型． 上述的例子就是这种类型． （２）一因多果型． 如图１，因为ＡＤ∥ＢＣ（已知）， 所以∠１＝∠Ｂ（两直线平行， 同位角相等）， ∠２＝∠Ｃ（两直线平行，内错 角相等）． 这种类型的推理，在具体证明时应根据需要来选择 多个“果”中的某一个或某几个． （３）多因一果型． 例如，因为ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ（已知）， 所以ａ∥ｃ（平行于同一直线的两直线平行）． 这种类型的推理，必须多“因”都具备时，才能得出 “果”． 第三步、证明的步骤 证明的一般步骤如下： （１）根据题意，画出图形，即把命题中的文字语言 转化成图形语言．同时为了叙述的方便，还要在图上标 出必要的字母和符号． （２）根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证， 这一步是向符号语言转化． （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明的过程．这一步是证明的核心．一般情况下，分析过 程不用写出来，只要求写出证明过程． 例　证明：两直线平行，内错 角的平分线互相平行． 已知：如图２，ＡＢ∥ ＣＤ，直线 ＭＮ交ＡＢ，ＣＤ于点Ｅ，Ｆ，过Ｅ，Ｆ两 点分别作∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线ＥＨ，ＦＧ． 求证：ＦＧ∥ＥＨ． 分析：从结论出发，要证明ＦＧ∥ＥＨ，需证明内错角 ∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ．从条件出发，由ＡＢ∥ＣＤ，可得∠ＢＥＦ ＝∠ＣＦＥ；由ＥＨ，ＦＧ分别是∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线 可得∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ． 证明：因为ＡＢ∥ＣＤ（已知）， 所以∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＥ（两直线平行，内错角相等）． 因为ＥＨ，ＦＧ分别是∠ＢＥＦ，∠ＣＦＥ的角平分线（已 知）， 所以∠ＨＥＦ＝１２∠ＢＥＦ，∠ＧＦＥ＝ １ ２∠ＣＦＥ（角平 分线的定义）． 所以∠ＨＥＦ＝∠ＧＦＥ（等量代换）． 所以ＦＧ∥ＥＨ（内错角相等，两直线平行）． 书 一、理解命题的定义 表示判断的语句叫做命题． 例１　下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （１）如果ａ＞０，ｂ＞０，那么ａｂ＞０； （２）如果∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°，那么∠Ａ与∠Ｂ互为补 角； （３）吸烟对身体有害； （４）画一个角； （５）对顶角； （６）内错角相等． 解：（１）（２）（３）（６）是命题，它们都指出了是什么 或不是什么，其中（３）不是数学范畴的命题．（４）（５）不 是命题，（４）只是描述一个过程，并没有作出判断，（５） 是一个几何名词． 二、识别真假命题 如果条件成立，那么结论一定成立的命题是真命 题；如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，即结论 不成立，这样的命题是假命题．判断一个命题是真命题 时，可以用演绎推理加以论证；而判断一个命题是假命 题时，只要举出一个符合该命题的条件，而不符合该命 题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反 例”． 例２　用下面图形中的∠１和∠２能说明“同位角 相等”是假命题的是 （　　） 解：Ａ选项，这两个角是内错角，故该选项不符合题 意；Ｂ选项，两直线不平行，同位角不相等，可以说明“同 位角相等”是假命题，故该选项符合题意；Ｃ选项，这两 个角是同旁内角，故该选项不符合题意；Ｄ选项，这两个 角不是同位角，故该选项不符合题意． 故选Ｂ． 三、区分条件与结论 命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知的 事项，结论是由已知事项推断出的事项．这样的命题可写 成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分 是条件，用“那么”开始的部分是结论．有些命题的条件和 结论不是很明显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成 “如果……，那么……”的形式，但在改写时，不能简单地 加上“如果”“那么”，应把省略的成分补充进去，即可改成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 例３　指出下列命题的条件和结论． （１）同角的补角相等； （２）在同一平面内，两条直线不平行，它们一定相 交； （３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行． 解：（１）命题可改写成：如果两个角是同一个角的 补角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的补 角；结论：这两个角相等． （２）条件：在同一个平面内，两条直线不平行；结 论：这两条直线一定相交． （３）条件：两条直线都与第三条直线平行；结论：这 两条