第15期 空间几何体与点、直线、平面之间的位置关系-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 （上接第３版） ２０．（本小题满分１２分）（２０２３安徽芜湖一中高三阶 段练习）如图１３，在梯形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＡＤＣ＝ ９０°，ＡＤ＝ＣＤ＝１，ＡＢ＝２，将△ＤＡＣ沿ＡＣ折起，使平面 ＤＡＣ⊥平面ＡＢＣ． （１）证明：ＡＤ⊥平面ＢＣＤ； （２）Ｍ为ＡＣ的中点，Ｅ为棱ＣＤ上一点，ＣＥ＝２３，求 异面直线ＥＭ与ＡＢ所成角的余弦值． ２１．（本小题满分１２分）（２０２３广西壮族自治区柳州 市模拟）如图１４，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，ＦＯ⊥平面ＡＢＣＤ，四边形ＯＡＥＦ为平行四边形． （１）求证：平面ＤＥＦ⊥平面ＢＤＦ； （２）若ＡＢ＝ＦＯ＝ＢＤ＝２，点Ｈ在线段ＢＦ上，且 →ＢＨ＝λ→ＢＦ，三棱锥Ｂ－ＡＨＣ的体积是四棱锥Ｄ－ＡＯＦＥ 体积的一半，求λ的值． ２２．（本小题满分１２分）（２０２３江西上饶市第一中学 二模）如图１５，点Ｃ是以ＡＢ为直径的圆Ｏ上异于Ａ，Ｂ的 动点，ＤＣ⊥平面ＡＢＣ，四边形ＢＣＤＥ是直角梯形，且ＤＥ ∥ＢＣ，ＤＥ＝ １２ＢＣ，ＡＢ＝２，ＣＤ＝ 槡２ ２． （１）证明：ＥＯ∥平面ＡＣＤ； （２）当三棱锥Ａ－ＢＣＥ的体积最大时，求点Ｅ到平 面ＡＢＤ的距离                                                                                                 ． 书 一、单项选择题　１～４　ＣＡＡＡ　５～８　ＤＣＢＢ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢＤ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３．６６；　１４．－１９０；　１５．３６１；　１６．（ｎ ２－２ｎ＋３）·２ｎ＋１－６． 四、解答题 １７．解：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则 ａ５ ＝ａ１＋４ｄ＝９， Ｓ７ ＝７ａ１＋ ７×６ｄ ２ ＝４９ { ，解得ａ１ ＝１，ｄ＝２， 所以ａｎ ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１． （２）数列｛ｂｎ｝的前１００项和为 （ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ１０）＋（ｂ１１＋ｂ１２＋… ＋ｂ２０）＋（ｂ２１＋ｂ２２ ＋… ＋ｂ３０）＋… ＋（ｂ９１＋ｂ９２＋… ＋ｂ１００） ＝（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０）＋２（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０）＋２２（ａ１＋ ａ２＋… ＋ａ１０）＋… ＋２９（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０） ＝（１＋２＋２２＋… ＋２９）（ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１０） ＝１－２ １０ １－２ × １０×（１＋１９） ２ ＝１０２３００． １８．解：方案一：选条件①． 由ａｎ ＝ （２ｎ－１）（ａｎ＋１）＋２槡 ｎ －１， 得ａｎ＋１＝ （２ｎ－１）（ａｎ＋１）＋２槡 ｎ， 两边同时平方，得（ａｎ＋１）２ ＝（２ｎ－１）（ａｎ＋１）＋２ｎ， 即（ａｎ＋１）２－（２ｎ－１）（ａｎ＋１）－２ｎ ＝０， 所以（ａｎ＋２）（ａｎ＋１－２ｎ）＝０． 因为ａｎ≥－１，所以ａｎ＋１－２ｎ ＝０，即ａｎ ＝２ｎ－１． 则ｎａｎ ＝ｎ·２ｎ－ｎ． 方案二：选条件②． 因为ｂｎ＝ａｎ＋１－ａｎ－２ｎ，ａ２＝３ａ１＝３，且｛ｂｎ｝为常数列， 所以ｂｎ ＝ａｎ＋１－ａｎ－２ｎ＝ａ２－ａ１－２＝０，得ａｎ＋１－ａｎ＝２ｎ． 当ｎ≥２时，ａｎ ＝（ａｎ－ａｎ－１）＋… ＋（ａ２－ａ１）＋ａ１ ＝２ｎ－１＋… ＋２１＋１＝１－２ ｎ １－２ ＝２ ｎ－１， 而ａ１ ＝１也满足上式，故ａｎ ＝２ｎ－１． 则ｎａｎ ＝ｎ·２ｎ－ｎ． 设数列｛ｎ·２ｎ｝的前ｎ项和为Ｑｎ， 则Ｑｎ ＝１×２１＋２×２２＋３×２３＋… ＋ｎ×２ｎ， ２Ｑｎ ＝１×２２＋２×２３＋… ＋（ｎ－１）×２ｎ＋ｎ×２ｎ＋１， 两式相减，得 －Ｑｎ ＝２＋２２＋２３＋… ＋２ｎ－ｎ·２ｎ＋１ ＝２（１－２ ｎ） １－２ －ｎ·２ ｎ＋１ ＝－２＋（１－ｎ）·２ｎ＋１， 所以Ｑｎ ＝（ｎ－１）·２ｎ＋１＋２， 故Ｔｎ ＝（ｎ－１）·２ｎ＋１＋２－ ｎ（ｎ＋１） ２ ． １９．解：（１）选条件①：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则由ａ２２－ａ３ ＝４得（ａ１＋ｄ）２－（ａ１＋２ｄ）＝４， 将ａ１ ＝１代入，解得ｄ＝２或ｄ＝－２， 因为Ｓｎ ＞０，所以ｄ＝２，所以ａｎ ＝２ｎ－１； 选条件②：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则 Ｓｎ ｎ ＝ａ１＋ １ ２（ｎ－１）ｄ， {由数列 Ｓｎ}ｎ 的前３项和为６及ａ１＝１得３＋３２ｄ＝６， 解得ｄ＝２，所以ａｎ ＝２ｎ－１； 选条件③：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则由ａ１，ａ２，ａ４＋２成等比数列得（ａ１＋ｄ）２＝ａ１（ａ１＋３ｄ＋