第14期 数列综合问题（数列求和、递推数列等)-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题 １～４　ＢＣＣＣ　５～８　ＤＡＣＣ 二、多项选择题　 ９．ＡＣ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＣＤ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题 １３．槡３２；　１４． ３， ４·３ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２； 　１５．５；　１６．１３６． 四、解答题 １７．解：（１）由Ｔｎ＋１ ＝ （ｎ＋２）ａｎＴｎ ｎ 得 Ｔｎ＋１ Ｔｎ ＝ａｎ＋１ ＝ （ｎ＋２）ａｎ ｎ ，即 ａｎ＋１ ａｎ ＝ｎ＋２ｎ ， 所以ａｎ ＝ ａｎ ａｎ－１ · ａｎ－１ ａｎ－２ · ａｎ－２ ａｎ－３ ·…· ａ４ ａ３ · ａ３ ａ２ · ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ｎ＋１ｎ－１· ｎ ｎ－２· ｎ－１ ｎ－３·…· ５ ３· ４ ２· ３ １·２＝（ｎ＋１）ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝２也满足上式，所以ａｎ ＝ｎ２＋ｎ． （２）由（１）得ｂｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ － １ ｎ＋１， 则Ｓｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ ＝１－１２ ＋ １ ２ － １ ３ ＋… ＋ １ ｎ － １ ｎ＋１ ＝１－ １ｎ＋１＝ ｎ ｎ＋１． １８．解：（１）令ｎ＝２，得ａ２＋２ａ１ ＝（－２）２－３， 即ａ２－１０＝１，所以ａ２ ＝１１； 令ｎ＝３，得ａ３＋２ａ２ ＝（－２）３－３， 即ａ３＋２２＝－１１，所以ａ３ ＝－３３． （２）假设存在实数λ，使得｛ｂｎ｝是等差数列， 因为ｂｎ ＝ ａｎ＋λ （－２）ｎ ， 所以ｂ１ ＝ －５＋λ －２ ，ｂ２ ＝ １１＋λ ４ ，ｂ３ ＝ －３３＋λ －８ ， 若｛ｂｎ｝是等差数列，则２ｂ２ ＝ｂ１＋ｂ３， 即 １１＋λ ２ ＝ －５＋λ －２ ＋ －３３＋λ －８ ，解得λ＝１， 此时ｂｎ ＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ ． 则当ｎ≥２时，ｂｎ－ｂｎ－１＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ － ａｎ－１＋１ （－２）ｎ－１ ＝ ａｎ＋１ （－２）ｎ ＋ ２ａｎ－１＋２ （－２）ｎ ＝ ａｎ＋２ａｎ－１＋３ （－２）ｎ ＝（－２） ｎ （－２）ｎ ＝１， 所以存在λ＝１，使得｛ｂｎ｝是等差数列． １９．解：（１）因为ａｎ＋１ ＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ， 所以Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝ Ｓｎ＋槡 １＋ Ｓ槡 ｎ，整理得 Ｓｎ＋槡 １－ Ｓ槡 ｎ ＝１， 即数列｛ Ｓ槡 ｎ｝是公差为１的等差数列， 则 Ｓ槡 ｎ ＝ Ｓ槡 １＋ｎ－１＝ｎ，所以Ｓｎ ＝ｎ ２． （２）由（１）可知Ｓｎ ＝ｎ２， 则ａｎ ＝ Ｓ槡 ｎ ＋ Ｓｎ－槡 １ ＝ｎ＋ｎ－１＝２ｎ－１， ｂｎ ＝（－１）ｎ（２ｎ－１）， 所以ｂ２ｎ－１＋ｂ２ｎ＝（－１）２ｎ－１［２×（２ｎ－１）－１］＋（－１）２ｎ（２ ×２ｎ－１）＝２， Ｔ２ｎ ＝（ｂ１＋ｂ２）＋（ｂ３＋ｂ４）＋… ＋（ｂ２ｎ－１＋ｂ２ｎ）＝２ｎ． ２０．（１）证明：由已知得ａｎ＋２－ａｎ＋１＝２（ａｎ＋１－ａｎ）＋２ｎ＋１， 所以 ａｎ＋２－ａｎ＋１ ２ｎ＋１ － ａｎ＋１－ａｎ ２ｎ ＝１，即ｂｎ＋１－ｂｎ ＝１， 所以｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ ａ２－ａ１ ２１ ＝１，公差为１的等差数列． （２）解：由（１）知ｂｎ ＝ ａｎ＋１－ａｎ ２ｎ ＝１＋（ｎ－１）·１＝ｎ， 则ａｎ＋１－ａｎ ＝ｎ·２ｎ． 当ｎ≥２时，（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋… ＋（ａｎ－ａｎ－１） ＝１×２１＋２×２２＋… ＋（ｎ－１）·２ｎ－１， 得到ａｎ－ａ１ ＝１×２１＋２×２２＋… ＋（ｎ－１）·２ｎ－１①， ２（ａｎ－ａ１）＝１×２２＋２×２３＋… ＋（ｎ－１）·２ｎ②， ① －②得：－（ａｎ－ａ１）＝２１＋２２＋２３＋… ＋２ｎ－１－（ｎ－ １）×２ｎ， 整理得ａｎ ＝（ｎ－２）·２ｎ＋３，ａ１ ＝１符合上式， 故ａｎ ＝（ｎ－２）·２ｎ＋３（ｎ∈Ｎ＋）． ２１．解：（１）设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ（ｑ＞０）， 由２ａｎａｎ＋１ ＝４ｎ（ｎ∈Ｎ＋）得 ２ａ１ａ２ ＝４， ２ａ２ａ３ ＝４２ { ， ① ② ② ÷①得ｑ２ ＝４，解得ｑ＝２，ａ１ ＝１， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝２ｎ－１． （２）由（１）得Ｓｎ ＝ １－２ｎ １－２ ＝２ ｎ－１， 则ａｎ－（Ｓｎ－７）＝２ｎ－１－（２ｎ－１－７）＝２３－２ｎ－１， 当１≤ｎ≤４时，ａｎ≥Ｓｎ－７；当ｎ≥５时，ａｎ ＜Ｓｎ－７， 所以ｂｎ ＝ ａｎ，１≤ｎ≤４， Ｓｎ－７，ｎ≥５ { ． 当ｎ≥５时，Ｔｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋… ＋ｂｎ ＝（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）＋（Ｓ５－７）＋（Ｓ６－７）＋…＋（Ｓｎ－７） ＝２４－１＋（２５－８）＋（２６－８）＋… ＋（２ｎ－８） ＝１５＋（２５＋２６＋… ＋２ｎ）－８（ｎ－４） ＝４７－８ｎ＋２ ５（１－２ｎ－４） １－２ ＝２ ｎ＋１－８ｎ＋１５． 综上，Ｔｎ ＝ ２ｎ－１，１≤ｎ≤４， ２ｎ＋１－８ｎ＋１５，ｎ≥５{ ． ２２．解：