第13期 数列的概念与简单表示、等差与等比数列-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题　 １～４　ＤＢＢＤ　５～８　ＤＣＤＡ 二、多项选择题 ９．ＡＢＤ；　１０．ＢＣＤ；　１１．ＡＣＤ；　１２．ＡＢＣ． 三、填空题 １３．－２；　１４．１３１４；　１５．７；　１６．（槡７，３］． 四、解答题 １７．解：（１）由题得｜ａ｜＝ ２２＋（－２）槡 ２ ＝ 槡２２， ｜ｂ｜＝ ２２＋１槡 ２ ＝槡５， ｃｏｓθ＝ ａ·ｂ｜ａ｜·｜ｂ｜＝ ４－２ 槡２２·槡５ ＝槡１０１０． （２）若ａ＋λｂ与２ａ－ｂ的夹角为锐角， 则（ａ＋λｂ）·（２ａ－ｂ）＞０，且ａ＋λｂ与２ａ－ｂ不共线． 又ａ＋λｂ＝（２λ＋２，λ－２），２ａ－ｂ＝（２，－５）， 所以 ２（２λ＋２）－５（λ－２）＞０， ２（λ－２）＋５（２λ＋２）≠０{ ， 解得λ＜１４且λ≠－１２， 故实数λ (的取值范围是 －∞，－ )１２ (∪ －１２， )１４ ． １８．解：（１）由ａ＝２ｂ及正弦定理得ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＢ， 又Ａ＋Ｂ＝６０°，则ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎ（６０°－Ａ）， 即ｓｉｎＡ＝槡３ｃｏｓＡ－ｓｉｎＡ，所以ｔａｎＡ＝槡 ３ ２． （２）由题意得Ｓ△ＡＣＤ ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ， 所以 １ ２ｂｓｉｎ６０°＋ １ ２ａｓｉｎ６０°＝ １ ２ａｂｓｉｎ１２０°，即ａ＋ｂ＝ａｂ． 则 １ ａ ＋ １ ｂ ＝１，所以ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ (） １ａ ＋１ )ｂ ＝１＋１＋ｂａ＋ ａ ｂ≥４，当且仅当ａ＝ｂ＝２时等号成立． 所以ａ＋ｂ的最小值为４． １９．解：（１）由正弦定理得 ｂｓｉｎＢ＝２Ｒ，因为槡３Ｒ＝ｂ， 所以槡３Ｒ＝２ＲｓｉｎＢ．即ｓｉｎＢ＝槡 ３ ２．又Ｂ为锐角，则Ｂ＝ π ３． （２）因为ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＝ ５２Ｒ，由正弦定理可得ａ＋ｃ＝５． 由（１）可知，Ｂ＝π３，又ｂ＝槡７，所以７＝ａ ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓπ３， 整理得（ａ＋ｃ）２－３ａｃ＝７，则ａｃ＝６． 由ｓｉｎＡ＞ｓｉｎＣ得ａ＞ｃ，可得ａ＝３，ｃ＝２． 由余弦定理可得ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝ ７＋４－９ 槡４７ ＝槡７１４， 所以→ＡＢ·→ →ＡＣ＝｜ＡＢ｜·→｜ＡＣ｜ｃｏｓＡ＝ｃｂｃｏｓＡ＝２×槡７×槡７１４＝１． ２０．解：（１）根据题意得ｃｓｉｎＡ＝ａ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ， 即ｓｉｎＣｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ，因为ｓｉｎＡ≠０， 所以ｓｉｎＣ＝ (ｃｏｓ Ｃ－π )６ ＝槡３２ｃｏｓＣ＋１２ｓｉｎＣ， 即ｓｉｎＣ＝槡３ｃｏｓＣ，所以ｔａｎＣ＝槡３， 又０＜Ｃ＜π，所以Ｃ＝ π３． （２）ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ＝ｃ·ａ ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ＋ｂ· ａ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ ＝１， 解得ａ＝１，又Ｃ＝ π３，Ａ＝ π ４，得Ｂ＝ ５π １２， 由正弦定理得 ａ ｓｉｎπ４ ＝ ｃ ｓｉｎπ３ ，解得ｃ＝槡６２． 且ｓｉｎ５π１２＝ (ｓｉｎ π４ ＋π )６ ＝槡６＋槡２４ ， 所以Ｓ＝ １２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２ ×１× 槡６ ２ × 槡６＋槡２ ４ ＝ ３＋槡３ ８ ． ２１．解：（１）因为ｆ（ｘ）满足 (ｆ π３ )－ｘ ＝ｆ（ｘ）， 所以ｘ＝ π６是ｆ（ｘ）的一条对称轴， 又 (ｆ －π )１２ ＝０，且ｆ（ｘ） (在 －π１２，π )６ 上单调递增， 所以 Ｔ ４ ＝ π ６ ＋ π １２＝ π ４，解得Ｔ＝π，所以ω＝２． 由 (ｆ －π )１２ ＝０得２ (× －π )１２ ＋φ＝２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 即φ＝ π６ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ， 又φ∈（０，π），所以φ＝ π６，即ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋π )６ ． （２）由（１）知 (ｆ α )４ ＝ １４ ＝ (ｓｉｎ α２ ＋π )６ ， 所以 (ｓｉｎ π６ － )α ＝ [ｓｉｎ π２ － (２ α２ ＋π ) ]６ ＝ [ (ｃｏｓ ２ α２ ＋π ) ]６ ＝１－２ｓｉｎ (２ α２ ＋π )６ ＝１－ (２ )１４ ２ ＝ ７８． ２２．解：（１）依题意，ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋ 槡２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋１ ＝槡３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋２＝ (２ｓｉｎ ２ｘ－π )６ ＋２． 令２ｋπ－π２≤２ｘ－ π ６≤２ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 解得ｆ（ｘ） [的单调递增区间是 ｋπ－π６，ｋπ＋π ]３ ，ｋ∈Ｚ， 令２ｋπ＋π２≤２ｘ－ π ６≤２ｋπ＋ ３π ２，ｋ∈Ｚ． 解得ｆ（ｘ） [的单调递减区间是 ｋπ＋π３，ｋπ＋５π]６ ，ｋ∈Ｚ． （２）由ｆ（Ａ）＝４得Ａ＝ π３．设△ＡＢＣ外接圆的半径为Ｒ， 根据正弦定理得２Ｒ＝ ａｓｉｎＡ＝ 槡４３ ３． 于是ｂ＋ｃ＝２Ｒ（ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ） ＝ 槡４３[３ ｓｉｎＢ＋ (ｓｉｎ ２π３ ) ]－Ｂ ＝ 槡４３(３ ３２ｓｉｎＢ＋槡３２ｃｏｓ )Ｂ ＝ (４ｓｉｎ Ｂ＋π )６ ． 因为