第12期 复数与三角函数、解三角形、平面向量综合-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题　 １～４　ＤＣＤＣ　　５～８　ＣＡＤＤ 二、多项选择题 ９．ＢＣ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＢＣＤ；　１２．ＢＤ． 三、填空题 １３．槡５；　１４． π ６或 ５π ６；　１５．３（槡２＋１）；　１６． 槡７ ２． 四、解答题 １７．解：（１）因为ｍ＋ｎ＝（槡２＋ｃｏｓＡ－ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ）， 所以｜ｍ＋ｎ｜＝ （槡２＋ｃｏｓＡ－ｓｉｎＡ）２＋（ｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ）槡 ２ ＝ ４＋槡２２（ｃｏｓＡ－ｓｉｎＡ槡 ）＝２， 解得ｃｏｓＡ＝ｓｉｎＡ，即ｔａｎＡ＝１， 又因为０＜Ａ＜π，所以Ａ＝ π４． （２）由ｍ·ｎ＝１，得ｃｏｓＡ（槡２－ｓｉｎＡ）＋ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝１， 则ｃｏｓＡ＝槡２２，所以Ａ＝ π ４． 又ａ＝３，∠Ｃ＝π３，所以由正弦定理得ｃ＝ ａｓｉｎＣ ｓｉｎＡ ＝ 槡３６ ２． １８．解：若选①，则Ａ＝π－３Ｂ，且Ａ＜Ｂ＜Ｃ， 因为ａ＝１，ｂ＝２，所以由正弦定理得 １ ｓｉｎ（π－３Ｂ） ＝ ２ｓｉｎＢ，即 １ ｓｉｎ３Ｂ＝ ２ ｓｉｎＢ， 所以２ｓｉｎ３Ｂ＝ｓｉｎＢ，即２（３ｓｉｎＢ－４ｓｉｎ３Ｂ）＝ｓｉｎＢ， 得ｓｉｎ２Ｂ＝ ５８，则ｓｉｎＢ＝ 槡１０ ４ ． 因为Ａ＜Ｂ＜Ｃ，所以角Ｂ为锐角，所以ｃｏｓＢ＝槡６４， 所以ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ２Ｂ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝槡１５４ ， 所以由正弦定理得ｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ ＝ ２×槡１５４ 槡１０ ４ ＝槡６． 若选②，则由△ＡＢＣ的面积为槡７４，ａ＝１，ｂ＝２，得Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ａｂｓｉｎＣ＝ｓｉｎＣ＝ 槡７ ４，所以ｃｏｓＣ＝± １－ｓｉｎ ２ 槡 Ｃ＝± ３ ４， 当Ｃ为锐角时，ｃｏｓＣ＝ ３４，由余弦定理得 ｃ ２ ＝ａ２＋ｂ２－ ２ａｂｃｏｓＣ＝１＋４－２×１×２×３４ ＝２，所以ｃ＝槡２． 当Ｃ为钝角时，ｃｏｓＣ＝－３４，由余弦定理得ｃ ２＝ａ２＋ｂ２－ ２ａｂｃｏｓＣ＝１＋４＋２×１×２×３４ ＝８，所以ｃ＝ 槡２２． 综上，ｃ＝槡２或ｃ＝ 槡２２． 若选③，由ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝槡３３，得ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ＝ 槡３ ３， 由正弦定理得ｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎＡａ ＝ ２×槡３３ １ ＝ 槡２３ ３ ＞１， 所以这样的三角形不存在． １９．解：（１）在△ＡＢＣ中，ｃｏｓＢ＝ＡＢ ２＋ＢＣ２－ＡＣ２ ２ＡＢ·ＢＣ ＝－ＡＢ·ＢＣ２ＡＢ·ＢＣ ＝－ １ ２， 因为０°＜Ｂ＜１８０°，所以Ｂ＝１２０°． Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣｓｉｎ１２０°＝ １ ２ ×３×１× 槡３ ２ ＝ 槡３３ ４． （２）由（１）知Ｂ＝１２０°，设∠ＡＣＢ＝θ， 则∠ＡＣＤ＝１２０°－θ，∠ＡＤＣ＝３０°＋θ，∠ＢＡＣ＝６０°－θ． 在△ＡＣＤ中，由 ＡＣｓｉｎ（３０°＋θ） ＝ ＣＤｓｉｎ３０°， 得ＡＣ＝ｓｉｎ（３０°＋θ）ｓｉｎ３０° ＣＤ． ① 在△ＡＢＣ中，由 ＡＣｓｉｎ１２０°＝ ＢＣ ｓｉｎ（６０°－θ） ， 得ＡＣ＝ ｓｉｎ１２０°ｓｉｎ（６０°－θ） ＢＣ． ② 联立①②，并由ＣＤ＝槡３ＢＣ得 槡３× ｓｉｎ（３０°＋θ） ｓｉｎ３０° ＝ ｓｉｎ１２０° ｓｉｎ（６０°－θ） ， 整理得ｓｉｎ（３０°＋θ）ｓｉｎ（６０°－θ）＝ １４， １ ２ ×２ｓｉｎ（３０°＋θ）ｃｏｓ（３０°＋θ）＝ １ ４， 所以ｓｉｎ（６０°＋２θ）＝ １２， 由题可知０°＜θ＜６０°，所以６０°＜６０°＋２θ＜１８０°， 所以６０°＋２θ＝１５０°，解得θ＝４５°，即∠ＡＣＢ的值为４５°． ２０．解：（１）→ → →  →ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＢ＋１３（ → →ＡＣ－ＡＢ） ＝ ２３ →ＡＢ＋１３ →ＡＣ＝ ２３ｍ＋ １ ３ｎ； → → → →ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝ＡＣ＋１３（ → →ＡＢ－ＡＣ） ＝ １３ →ＡＢ＋２３ →ＡＣ＝ １３ｍ＋ ２ ３ｎ． （２）由（１）得→ＡＤ·→ (ＡＥ＝ ２３ｍ＋１３ )ｎ (· １３ｍ＋２３ )ｎ ＝ ２９（｜ｍ｜ ２＋｜ｎ｜２）＋５９ｍ·ｎ ＝ ２９（｜ｍ｜ ２＋｜ｎ｜２）＋５１８｜ｍ｜｜ｎ｜＝１５， 即４（｜ｍ｜２＋｜ｎ｜２）＋５｜ｍ｜｜ｎ｜＝２７０， ① 又由余弦定理 →｜ＢＣ｜２ →＝｜ＡＢ｜２ →＋｜ＡＣ｜２－２→ →｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜ｃｏｓπ３， 可得｜ｍ｜２＋｜ｎ｜２－２｜ｍ｜｜ｎ｜· １２ ＝（槡３３） ２， 即｜ｍ｜２＋｜ｎ｜２－｜ｍ｜｜ｎ｜＝２７， ② 由①②可解得｜ｍ｜｜ｎ｜＝１８． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ →｜ＡＢ｜· →｜ＡＣ｜·ｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ １２｜ｍ｜｜ｎ｜·ｓｉｎ π ３ ＝ １ ２ ×１８× 槡３ ２ ＝ 槡９３ ２． ２１．解：（１）由ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ＝槡３２（ｓｉｎ ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ） 及正弦定理