第10期 三角函数的图象与性质-【数理报】2024高考数学一轮复习学案（新教材新高考）

书 一、单项选择题 １～４　ＢＣＤＤ　５～８　ＢＢＡＡ 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＣＤ；　１１．ＡＣ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题 １３．１２；　１４． １７ １８；　１５． 槡５３ １４；　１６． ３ ４， ７ ５． 四、解答题 １７．解：（１）因为ｔａｎα＝－１３，ｔａｎ（α＋β）＝１，所以ｔａｎβ ＝ｔａｎ［（α＋β）－α］＝ｔａｎ（α＋β）－ｔａｎα１＋ｔａｎ（α＋β）ｔａｎα ＝ １＋１３ １－１３ ＝２． 因为β∈（０，π），ｔａｎβ＝２＞０， 所以β∈ ０，π( )２ ，所以ｃｏｓβ＝槡 ５ ５． （２）由（１）得ｓｉｎβ＝ １－ｃｏｓ２槡 β＝ 槡 ２５ ５， 所以 １＋槡２ｃｏｓ２β－π( )４ ｓｉｎ π ２ －( )β ＝１＋ｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２βｃｏｓβ ＝２ｃｏｓ ２β＋２ｓｉｎβｃｏｓβ ｃｏｓβ ＝２ｃｏｓβ＋２ｓｉｎβ＝ 槡６５５． １８．解：（１）因为ｆ（α）＝（－ｃｏｓα）ｃｏｓα（－ｔａｎα） （－ｔａｎα）ｃｏｓα ＝－ｃｏｓα， 所以 (ｆ π )３ ＝－ｃｏｓπ３ ＝－１２． （２）因为ｆ（α） (＋ｆ π２ － )α ＝－１５， 所以 －ｃｏｓα－ (ｃｏｓ π２ － )α ＝－１５， 所以ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝ １５， 两边平方，得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝ １２５， 所以２ｓｉｎαｃｏｓα＝－２４２５， １－２ｓｉｎαｃｏｓα＝４９２５，即（ｓｉｎα－ｃｏｓα） ２ ＝４９２５， 因为２ｓｉｎαｃｏｓα＝－２４２５＜０，α∈（０，π）， 所以α (∈ π２， )π ，所以ｓｉｎα－ｃｏｓα＞０， 所以ｓｉｎα－ｃｏｓα＝ ７５，结合ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝ １ ５， 解得ｓｉｎα＝ ４５，ｃｏｓα＝－ ３ ５， 故ｓｉｎ２α－ｃｏｓα＝１６２５ (－ － )３５ ＝３１２５． １９．解：（１）因为ｓｉｎ β－π( )４ ＝槡 ２ ２（ｓｉｎβ－ｃｏｓβ）＝ １ ５， 所以ｓｉｎβ－ｃｏｓβ＝槡２５， 所以（ｓｉｎβ－ｃｏｓβ）２＝１－２ｓｉｎβｃｏｓβ＝１－ｓｉｎ２β＝ ２２５， 所以ｓｉｎ２β＝２３２５． （２）因为ｓｉｎ β－π( )４ ＝ １ ５，ｃｏｓ（α＋β）＝－ １ ３， 其中０＜α＜ π２，０＜β＜ π ２， 所以ｃｏｓβ－π( )４ ＝ 槡 ２６ ５，ｓｉｎ（α＋β）＝ 槡２２ ３， 所以ｃｏｓα＋π( )４ ＝ｃｏｓ（α＋β）－ β－π( )[ ]４ ＝ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓβ－π( )４ ＋ｓｉｎ（α＋β）ｓｉｎ β－π( )４ ＝ 槡２６５ × －( )１３ ＋ 槡 ２２ ３ × １ ５ ＝ ２（槡２－槡６） １５ ． ２０．解：（１）由ｔａｎＡ＝ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ得 ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ， 即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎ（Ｃ－Ａ）， 则Ａ－Ｂ＝Ｃ－Ａ，即２Ａ＝Ｃ＋Ｂ， 所以在△ＡＢＣ中，Ａ＝ π３． （２）由（１）知Ｂ＋Ｃ＝２π３，则Ｃ＝ ２π ３ －Ｂ． 在锐角△ＡＢＣ中，０＜Ｂ＜ π２，且０＜ ２π ３ －Ｂ＜ π ２， 所以 π ６ ＜Ｂ＜ π ２． 由 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ＝２，得ｂ＝２ｓｉｎＢ，ｃ＝２ｓｉｎＣ， 所以ｂ２＋ｃ２＝４（ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝４＋ (２ｓｉｎ ２Ｂ－π )６ ． 又 π ６ ＜Ｂ＜ π ２，所以 π ６ ＜２Ｂ－ π ６ ＜ ５π ６， 所以 １ ２ ＜ (ｓｉｎ ２Ｂ－π )６ ≤１，所以５＜ｂ２＋ｃ２≤６． 故ｂ２＋ｃ２的取值范围是（５，６］． ２１．解：（１）由三角函数的定义有ｘ１ ＝ｃｏｓα． 因为ｓｉｎ α＋π( )６ ＝ １３ １４，α∈ π ３， π( )２ ， 所以 π ２ ＜α＋ π ６ ＜ ２π ３，则ｃｏｓα＋ π( )６ ＝－ 槡 ３３ １４． 所以ｘ１ ＝ｃｏｓα＝ｃｏｓ α＋π( )６ －π[ ]６ ＝ｃｏｓα＋π( )６ ｃｏｓπ６ ＋ｓｉｎ α＋π( )６ ｓｉｎπ６ ＝－ 槡３３１４ × 槡３ ２ ＋ １３ １４× １ ２ ＝ １ ７． （２）由题知ｘ１ ＝ｃｏｓα，ｙ２ ＝ｓｉｎ α＋ π( )３ ， 则ｙ＝ｘ２１＋ｙ２２ ＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２ α＋ π( )３ ＝１＋ｃｏｓ２α２ ＋ １－ｃｏｓ２ α＋π( )３ ２ ＝１＋３４ｃｏｓ２α＋ 槡３ ４ｓｉｎ２α ＝槡３２ｓｉｎ２α＋ π( )３ ＋１． 因为α∈ π ３， π( )２ ，２α＋π３∈ π，４π( )３ ， 所以ｓｉｎ２α＋π( )３ ∈ －槡３２，( )０， 所以槡 ３ ２ｓｉｎ２α＋ π( )３ ＋１∈ １４，( )１． 所以ｙ＝ｘ２１＋ｙ２２的取值范围是 １ ４，( )１． ２２．解：（１）由题