2024届高考数学一轮复习 讲义：等差数列

课题：等差数列 知识点：等差数列 1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）.【主要用于判断数列是否为等差数列，或者利用定义证明数列为等差数列】 【注】概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 2．等差数列通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则（为递增数列，为常数列， 为递减数列） 3．等差中项： ①如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 ．，，成等差数列 4．等差数列通项之间的关系：通项的关系： 当时,则有，当时，则有【等差中项和通项之间的关系，常考查选择、填空题或者在差比混合类的大题第一问，利用关系建立等式求解数列通项公式】 5．等差数列的前项和公式等差数列的前和的求和公式：. 6．等差数列的常用性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列中相邻n个数之和所组成的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. （9）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （10）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 【注】求的最值（或求中正负分界项）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性． ①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和：即当，由可得达到最大值时的值． ②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和：即当，由可得达到最小值时的值． （11）等差数列的判定与证明 ①定义法：若或（常数）是等差数列；【证明题常用方法】 ②等差中项： 数列是等差数列 ③通项公式：(为常数,)⇔是等差数列; ④前项和公式：(为常数, )⇔是等差数列; ⑤是等差数列⇔是等差数列. 典型例题 例1已知为等差数列的前项和, , 则等于 （ ） A． B． C． D． 例2记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 例3等差数列的前项和为，满足：，则（       ） A．72 B．75 C．60 D．100 例4记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（       ） A． B． C． D． 例5若数列是等差数列，，，则（       ） A． B．1 C． D．2 例6在等差数列中，已知，则= （ ） A．10 B．18 C．20 D．28 例7已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（ ） A． B． C． D． 例8在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 例9在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（       ） A．7 B．8 C．9 D．10 例10数列满足 ，且， ，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 例11设等差数列满足， ，且有最小值，则这个最小值为__________． 例12已知数列是一个等差数列，且，. （1）求的通项；（2）求前n项和的最大值． 例13已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 举一反三 1．在等差数列中，，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若等差数列中，，则的前5项和等于（ ） A．10 B．15 C