精品解析：辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

东北育才学校科学高中部高一年级上学期第一次自我检测 数学试卷 时间：120分钟 满分150分 命题人：魏春新 校对人：来洪臣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 7. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ） A B. C. D. 11. 设为实数，已知关于方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根一个必要条件是 C. 方程有两个不相等的正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 12. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则最小值为． B. 已知，且，则的最小值为 C. 已知，且，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______． 14. 已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最小时的集合为______. 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则________. 16. 已知中有且仅有一个元素，则的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，其中. （1）当时，求和； （2）若___________，求实数的取值范围. 请从①；②，；（3）“”是“”的必要条件； 这三个条件中选择其中一个填入（2）中横线处，并完成第（2）的解答. 18. 已知函数． （1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）证明：； （2）证明：； （3）设，求S的最大值． 20. 已知. （1）求证：； （2）判断等式 能否成立，并说明理由 21. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 22. 问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共