【数学思想】第1讲：函数与方程思想在解析几何（选填）中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第2讲 函数与方程思想在解析几何中（选填）的应用 函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。 方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。 函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。 函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。也是圆锥曲线中体现最多的一种思想方法。无论是选填还是解答题都是必考查的问题。 【应用一】函数与方程思想在研究圆中的应用 与圆有关的知识点： （1） 圆的方程，包括标准方程，一般方程 （2） 圆的问题，画图是重点，圆的切线，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系是常考知识点； （3） 直线与圆相切常用结论：圆心到直线距离等于半径； （4） 直线与圆相交，弦长 （5） 两圆相交，公共弦方程，用两圆方程作差，得到的就是公共弦方程； （6）与圆有关的最值问题，圆心是核心； 【例1.1】【2022年全国乙卷】过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或； 【解析】 【分析】 设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】 解：依题意设圆的方程为， 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； 故答案为：或或或； 【思维提升】圆中的函数与方程思想主要就是体现在设圆的半径或者圆心以及圆的一般是所涉及的参数，根据题目中给出的条件建立方程或者方程组。分别解出方程或者方程组。 【变式1.1】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以） 【变式1.2】（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 【变式1.3】（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________． 【答案】或中任何一个答案均可 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为，即， 则有， 解得或或或 所以公切线方程为或. 故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可） 【应用二】函数与方程思想在研究圆锥曲线的基本量的问题 一、椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性质 范围 -a≤x≤a;-b≤y≤b -b≤x≤b;-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;  短轴B1B2的长为2b　  焦距 |F1F2|=2c　  离心率 e=∈(0,1) a,b,c 的关系 　a2=b2+c2　  二、抛物线的定义 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 　O(0,0)　  对称轴 直线y=0 直线x=0 焦点 F,0 F-,0