专题4-7 数列新定义问题，插入数字构成新数列问题，取整数列问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题4-7 数列新定义，插入数字构成新数列，取整数列问题 2021新高考2卷T12 （2023·全国·高三专题练习）设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 重点题型·归类精讲 题型一 数列新定义 1． 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，…，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（    ） A．0.003 B．0.096 C．0.121 D．0.216 2． （多选）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（    ） A． B． C． D． 3． 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4． 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 5． （多选）设正整数，其中.记，当时，，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D． 6． （多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列2，4进行构造，第1次得到数列2，6，4；第2次得到数列2，8，6，10，4；…；第次得到数列2，，，，⋯，，4.记，则（    ） A． B．为偶数 C． D． 7． 对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式 . 8． （2023·广西苍梧中学校考）数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 9． 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”．它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率．由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，……．若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知，则 ； ． 10． 在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. (1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求； (2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项. 11． 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 12． 已知，，数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 13． 已知，若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值． 题型二 取整数列 14． 已知数列满足，记为不小于的最小整数，，则数列的前2023项和为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 15． 高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满足，，设数列的前n项和为，则 ． 16． 在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．2022 D．2023 17． 已知，设是关于的方程的实数根，记，.(符号表