离心率—斜率之积 微专题-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

同进 离心率——斜率之积 一. 知识点 情况一： 设A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于点A、B，直线PA、PB的斜率分别是、，则； 设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于点A、B，直线PA、PB的斜率分别是、，则。 情况二： 设AB是椭圆上的一条弦（不过原点，且并不水平，不竖直），点M是弦AB的中点，直线AB、OM的斜率分别是、，则； 设AB是双曲线上的一条弦（不过原点，且并不水平，不竖直），点M是弦AB的中点，直线AB、OM的斜率分别是、，则。 注：若椭圆方程为，则； 若双曲线方程为，则。 2. 典型例题 例：已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，，若的最小值为2，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【解】解：由上述结论可得， ，当且仅当时取等号， 又当时，，，三点共线不符合条件，当时取等号， 的最小值为2，，，离心率． 故选：． 三. 变式练习 1．已知，分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为　　 A． B． C． D． 2．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 3．已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直 线、的斜率分别为，．若的最小值为4，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 4．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．已知，分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率分别为，，始终满足，其中，则的离心率为　 　． 6．已知椭圆，，是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，，设椭圆的离心率为，则　 　． 7．设、分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于、的一点，直线、的斜率分别为、，则当取最小值时，双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 8．已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于，两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则　　 A． B． C．2 D． 9．已知、是双曲线的左、右顶点，动点在上且在第一象限．若、的斜率分别为，，则以下总为定值的是　　 A． B． C． D． 10．已知椭圆，，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 11．简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线、，设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为，若与的斜率之积为，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 答案 1【解答】解：由题意，，，当且仅当时取等号， 即，，的方程为， 与联立，可得，解得或（舍，故的坐标， 又有，，故的重心为． 故选：． 2【解答】解：根据题意，得， 结合，得，即 ， ，解得，得 因此，椭圆的离心率 故选：． 3【解答】解：根据题意，得，， ，，， ． 故选：． 4【解答】解：根据题意，得，， ，，，， ． 故选：． 5【解答】解：由题意，得，，，， ， ，可得显然不成立， 所以，可得，所以． 故答案为：． 6【解答】解：如图，设点M在第一象限内， 则，，， 整理得：， 即， 解得． 故答案为：． 7【解答】解：由题意可知，得， ，当且仅当时取等号， 即， ， 即 故选：． 8【解答】解：设直线的斜率为，直线的斜率为， ． 故选：． 9【解答】解：根据题意． 故选：． 10【解答】解：根据题意，得， 结合，得，即 ， ，解得，得 因此，椭圆的离心率 故选：． 11【解答】解：设切线的斜率为是、切线BD的斜率是，得， 与的斜率之积为， ，， 故选：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$