3.2函数与方程不等式之间的关系-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

3.2函数与方程不等式之间的关系 题型1求函数的零点 3 题型2利用函数图像解不等式 5 题型3函数零点个数的判断 7 ◆类型1直接法 7 ◆类型2零点的存在性定理 8 ◆类型3图像法 9 ◆类型4性质法 10 题型4求零点和问题 11 题型5零点所在区间的判断 12 题型6零点个数与参数问题 13 ◆类型1零点的存在性定理 13 ◆类型2图像法 14 题型7二次函数零点问问题 15 题型8二分法的概念 16 题型9用二分法求解方程的近似解 17 题型10复合函数零点 19 知识点一. 函数的零点 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 注意：函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点二．方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 注意：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点三.二次函数的零点 二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 知识点四.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 知识点五.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点六．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 知识点七．二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 题型1求函数的零点 【方法总结】 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例题1-1】（多选）（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列图象表示的函数有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】1. （2022秋·高一课时练习）函数f(x)＝(－1)的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】2. （2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集： （1）； （2）. 【变式1-1】3.（多选） （2023·全国·高一专题练习）函数有两个零点，，且，下列关于，的关系中错误的有(    ) A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-1】4. （2023·全国·高一专题练习）函数的零点是 【变式1-1】5. （2021·全国·高一专题练习）若求函数的零点． 【例题1-2】若函数＝ (b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________． 【变式1-2】1.函数f (a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是(　　) (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 【变式1-2】2.若函数的两个零点是2和3，则函数 的零点是( ) A．和 B．和 C．和