第二单元 第二节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（广西专用）

第二节一元二次方程及其应用 阶 教材知识全梳理 版本导航 人教：九上P1一P26:湘教：九上P25一P60;沪科：八下P18一P50. 知识点1一元二次方程的概念 一元二次方程必须同时满足以下四个条件： 1.必须是 方程； 二次项系数（红≠0） 一次项系数 2.只含有 个未知数： 4红+越+华=0 3.所含未知数的最高次数是 二次项一次项常数顶 4.二次项系数不为 温老提示 若题目中有“一元二次方程ax2+x+c=0”,则必然隐含着a≠0这一条件. 知识点2一元二次方程的解法 1.基本思想：将二次方程转化为一次方程，即降次 2.解法 解法 适用形式 方程的解 直接开 ①x2=p(p≥0) x=±p 平方法 ②(x+n)2=p(p≥0) x=±√p-n 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数，形如：x2+2mx=n(n+ 配方法 x=±√n+m-m m2≥0) 所有一元二次方程：ax2+bm+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 【温馨提示】①要先将一元二次方程化为一般形式：②确定，b,c 公式法 x=-b±VBF-4ac 的值时要带符号；③需先判断b2-4ac≥0，再套用公式求解，若6 2a 4ac<0,则方程无解 因式 ①(x-a)(x-b)=0 1=a,2=b 分解法 ②x(ax+b)=0 =0,x=-b 温碧提示 因式分解法解一元二次方程时，要先将右边的式子移至左边，再进行因式分解，不能在等号两边同 时约去念有未知数的公因式，避免丢根 知识点3一元二次方程根的判别式（北部湾2020.6） 1.概念：一般地，式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“A”表示，即△= b2-4ac. 20众相原创赋能中考广西数学 2.根的情况与判别式的关系 (1)6-4ac>0-一元二次方程有两个 的实数根； (2)b2-4ac=0与一元二次方程有两个 的实数根： (3)b2-4ac<0-一元二次方程 实数根。 温馨提示 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个 限制条件。 知识点4一元二次方程根与系数的关系(2022版课标去掉※，调整为考查内容) 1.如果一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2= x1x2= 2.根与系数关系的几种常见变形形式： ①x+x号=(x1+x2)2-2x12; ②(x1-2)2=(x1+x)2-4x2 ③(x1+1)(x1+1)=x1x2+(x1+x2)+1: ④以+1-西+西」 6+当-+至_（1+)2-2x」 ⑥lx1-x2|=√(x1-x2)=√/(x,+x2)-4x1x2 x1x2 x12 知识点5 一元二次方程的实际应用(2023.11，北部湾5年2考) 常见类型 数量关系 设a为原来的量，b为变化后的量 变化率问题 (1)若平均增长率为x,增长次数为2，则可列方程为 (2)若平均下降率为x,下降次数为2，则可列方程为a(1-x)2=b 设阴影部分的宽为x,则图1中S空白= ,图2中S自= 图3中S= 面积问题 图1 图2 图3 (1)常用公式：①利润=售价-成本：②总利润=每件利润×销售量； 销售问题 (2)单价每a元，少卖b件.若涨价x元，则少卖的数量为 件 (1)细胞分裂、病毒传播、树枝分叉问题： 若初始数据为a,每次传播（或分裂）x个，则第一轮后共有a(1+x)个，第二轮后共有 循环、传 a(1+x)2个： 播问题 (2)握手，单循环赛间题：握手（单循环套）总次数为m,山(n为人数)： 2 (3)互赠礼物问题：送礼物总份数为n(n-1)(n为人数) 第二单元方程（组）与不等式（组）21 二阶 随堂必练经典题 的基础一题多点 1.已知关于x的方程(m+1)x2-3x+2=0. (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范围是 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 ,二次项系数是 ,一次项是 ,一次项 系数是 常数项是 ,方程的解为 (4)①若该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ②若该方程有两个相等的实数根，则m的值是 ③若该方程没有实数根，则m的取值范围是 ④若该方程有两个实数根，则m的取值范围是 ⑤若该方程有实数根，则m的取值范围是 (5)设该方程的两个根分别为x,x2 ①若x1+x2=-1,则m= ②若x1x2=4,则m的值为 ③若m=-2,则方程的根的情况是 ,(x1-x2)2= 2.解下列一元二次方程： (1)(x-2)2=5: （22--8=0: (3)x2+3x+1=0; (4)2x(x-3)+x=3. 3.在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深人人心，新能源汽车的市场需求逐年上升 (1)某汽车企业2021年到2023年这两年新能源汽车的销售总量增