第11章 选修系列-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

选修4－4　坐标系与参数方程 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节内容主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，主要以解答题的形式出现，难度中等． 本节通过极坐标(方程)和参数方程的应用考查学生的数学运算、逻辑推理核心素养和转化与化归思想的应用． 授课提示：对应学生用书第297页 知识点一　极坐标 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P ′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ). 3．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： 1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件． 2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．　 1．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　) A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ 解析：先将极坐标化成直角坐标表示P，转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1． 答案：A 2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________． 解析：由得 代入y＝sin x，得y′＝sin 2x′， 故变换后的方程为y′＝3sin 2x′. 答案：y′＝3sin 2x′ 3．(2023·西安模拟)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ 的圆心的极坐标是________． 解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ，知圆心的极坐标为. 答案： 知识点二　参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标(x，y)是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程． 　 直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数). (2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数). (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数). [注意]　在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|. 1．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：由题意可知直线l的普通方程为 4x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1，0)到直线l的距离 d＝＝. 答案：D 2．设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则a的值为________． 解析：由圆的参数方程知圆的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.由＝2，知a＝. 答案： 3．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________． 解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0， 椭圆C的普通方程为＋＝1， 所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)， 则3－a＝0， 所以a＝3. 答案：3 授课提示：对应学生用书第298页 题型