第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，一般以小题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查，有时也与概率相交汇以解答题的形式呈现． 本节主要考查考生的逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第243页 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．　 1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　) A．30　　　　　　　 B．20 C．10 D．6 解析：从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种). 答案：D 2．(易错题)a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是(　　) A．20 B．16 C．10 D．6 解析：当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法． 答案：B 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．　 [小题诊断] 1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16　　 B．13　　 C．12　　 D．10 解析：将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4×3＝12(种). 答案：C 2．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为__________． 解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7×8×9＝504. 答案：504 3．(易错题)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有__________条不同的路线． 解析：不同路线共有3×4＋4×5＝32(条). 答案：32 授课提示：对应学生用书第244页 题型一　分类加法计数原理 1．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9； 以2为首项的等比数列为2，4，8； 以4为首项的等比数列为4，6，9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， ∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个). 答案：D 2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________． 答案：36 3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为__________． 解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)……，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个). 所以所有凸数共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 答案：240 　使用分类加法计数原理时两个注意点 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复． 题型二　分步乘法计数原理 1．(2023·新余模拟)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　) A．120　　 B．240　　 C．360　　 D．480 解析：第一步，从甲、乙、丙三人中选一个加到前排，有3种方法；第二步，前排