第8章 平面解析几何-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

第一节　直线与直线的方程 命题分析预测 学科核心素养 本节内容高考中很少独立考查，通常与切线方程、圆的方程、圆锥曲线相结合，难度中等． 本节主要提升考生的数学运算、直观想象核心素养． 授课提示：对应学生用书第203页 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α； (2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ 0° 0°＜θ＜90° 90° 90°＜θ＜180° k 0 k＞0 不存在 k＜0 牢记口诀： “斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．　 1．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A．　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：直线l的斜率k＝＝tan 30°＝. 答案：A 2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________． 解析：由题意得＝1，解得m＝1． 答案：1 知识点二　直线的方程 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． 2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．　 1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程为(　　) A．4x＋2y－5＝0　　　　　　 B．4x－2y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0 解析：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0. 答案：B 2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　) A．－24　　　　　　　　 B．12 C．－12 D．24 解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24. 答案：A 3．(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1， 则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 授课提示：对应学生用书第204页 题型一　直线的倾斜角与斜率 1．已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析：直线2x－y－3＝0的斜率k＝2， 所以tan θ＝2， 所以sin 2θ＝＝＝＝. 答案：C 2．(2023·烟台模拟)已知p：“直线l的倾斜角α＞”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直线l的倾斜角α＞， 则直线l的斜率k＝tanα＞1或k＜0； 又直线l的斜率k＞1，则tan α＞1， ∴α∈， ∴p是q的必要不充分条件． 答案：B 3．直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． 解析：如图，过A(2，1)，P(－1，0)的直线的斜率为k1＝＝，过B(0，)，P(－1，0)的直线的斜率为k2＝＝.由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是. 答案： 　求倾斜角α的取值范围的一般步骤 (1)求出tan α的取值范围． (2)利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围． 题型二　直线方程的求法 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5. 解：(1