第6章 不等式-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

第一节　不等式的性质、一元二次不等式 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的热点，主要命题点有：(1)不等式的性质及应用，常以不等式为载体与函数相结合考查，注意不等式的等价变形；(2)不等式的解法，常与集合的基本运算相结合考查；(3)一元二次不等式的恒成立问题，常与函数结合考查．一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大． 本节通过不等式的性质、解法及应用，考查转化与化归思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养． 授课提示：对应学生用书第150页 知识点一　不等式的性质 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b>0⇔a>b； (2)a－b＝0⇔a＝b； (3)a－b<0⇔a<b. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). 若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)；＞；＜(b－m＞0).　 1．若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A．－>0　　　　　 B．－<0 C．> D．< 解析：因为c<d<0，所以0<－d<－c， 又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac， 又因为cd>0，所以>，即>. 答案：D 2．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________． 解析：令a＝，b＝. 答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b 知识点二　一元二次不等式 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形． 2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．　 1．(易错题)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C． D．∪(1，＋∞) 解析：①m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3不合题意．②m≠－1时，则解得m＜－. 答案：C 2．当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　) A．－2　　　　　　　　 B．－3 C．－1 D．－ 解析：若－≤0，即a≥0时，成立；若a＜0，由Δ＝a2－4≤0，得－2≤a＜0，综上，a≥－2． 答案：A 3．不等式＜1的解集是________． 答案：{x|x＞1或x＜－1} 授课提示：对应学生用书第151页 题型一　不等式性质及应用 1．(2023·大连模拟)若a，b∈R，且a＞|b|，则(　　) A．a＜－b　　　　　　　　 B．a＞b C．a2＜b2 D．＞ 解析：∵a＞|b|，|b|≥b，∴a＞b. 答案：B 2．(2023·绵阳第一次诊断)已知p：a＜0，q：a＞a2，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由q：a＞a2，得0＜a＜1，又p：a＜0，所以p是q的既不充分也不必要条件． 答案：D 3．已知1<a<b，m＝ab－1，n＝ba－1，则m，n的大小关系为(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．以上选项都有可能 解析：由m＝ab－1，n＝ba－1，1<a<b， 得ln m＝(b－1)ln a，ln n＝(a－1)ln b， 所以要比较m，n的大小，即比较，的大小． 设f(x)＝(x>1)， 则f′(x)＝＝. 设g(x)＝x－1－x ln x， 则g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x， 当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)<g(1)＝0， 即f′(x)<0，所以f(x)为(1，＋∞)上的减函数． 因为1<a<b，所以f(a)>f(b)，