第5章 数列-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

第一节　数列的概念与简单表示法 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的热点，主要考查：(1)由数列的递推关系求通项公式；(2)由an与Sn的关系求通项公式；(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度不大． 本节通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养． 授课提示：对应学生用书第130页 知识点　数列的有关概念及表示 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫作数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫作数列的前n项和 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图像法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 1．易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．　 1．已知数列{an}为，1，，，…，则可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝　　　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析：由，，，，…，归纳得an＝. 答案：C 2．(2023·郑州模拟)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　) A．3不是数列{an}中的项 B．3只是数列{an}中的第2项 C．3只是数列{an}中的第6项 D．3是数列{an}中的第2项或第6项 解析：令an＝3， 即n2－8n＋15＝3， 解得n＝2或n＝6， 故3是数列{an}中的第2项或第6项． 答案：D 3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________． 答案：5n－4 4．(易错题)已知Sn＝2n＋3，则an＝________． 解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*). 由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝ 答案： 授课提示：对应学生用书第131页 题型一　由an与Sn的关系求通项公式 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________． 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时， a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此an＝ 答案： 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－， 所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝. 答案： 3．已知各项均为正数的数列{bn}的首项为1，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，求数列{bn}的通项公式． 解：因为Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，所以(＋)(－)＝＋(n≥2).又＞0，所以－＝1(n≥2)，又＝1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝1＋(n－1)×1＝n，故Sn＝n2．当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝2n－1(n∈N＋). 　1．已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1． (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． 2．Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 题型二　由递推关系求数列的通项公式 角度(一)　累加法 　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式． [解]　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…， an－an－1＝n(n≥2). 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又因为a1＝1，所以an＝(n≥2). 因