第3章 三角函数、解三角形-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套教参（北师大版 老教材 老高考）

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节的重点是三角函数的定义，多以选择题和填空题为主． 本节通过三角函数的概念考查学生的数学抽象及数学运算核心素养． 授课提示：对应学生用书第76页 知识点一　角的概念与弧度制 1．角的概念及推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 1．β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. 2．β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. 3．β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. 4．β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.　 1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确． 答案：C 2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A．10π B．9π C．π D．π 解析：∵200°＝，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l＝×1＝. 答案：D 3．角－225°＝________弧度，这个角在第______象限． 答案：－　二 知识点二　任意角的三角函数 三角函数 正　弦 余　弦 正　切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫作α的正弦，记作sin α x叫作α的余弦，记作cos α 叫作α的正切，记作tan α 各象限 符号 一 ＋ ＋ ＋ 二 ＋ － － 三 － － ＋ 四 － ＋ － 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，当不是单位圆上的点时，若圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝. 1．(易错题)若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：∵角α的终边上一点的坐标为，即，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－. 答案：A 2．(2023·济南模拟)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：根据三角函数的定义，tan α＝＝＝－. 答案：D 3．(2023·青岛质检)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________． 解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－，cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第77页 题型一　象限角与终边相同的角 1．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0　　　　　　 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 解析：∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cos α＞0， ∴sin 2α＝2sin αcos α＜0. 答案：D 2．集合中角表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析：由集合. 当k为偶数时，集合与表示相同的角； 当k为奇数时，集合与表示相同的角； 所以集合中表示的角的范围为选项C． 答案：C 3．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有(　　) A．α＋β＝ B．α＋β＝π，k∈Z C．α＋β＝2kπ，k∈Z D．α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z 解析：如图所示，设0＜α′＜π，0＜β′＜π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z. 答案：D 4．(2023·绵阳质检)点A(sin 2 023°，cos 2 023°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 　1．象限角的两种判断方法 (1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已