第六单元 圆-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学考前记背册（广西专用）

第六单元 圆 记背（二十五）圆的有关概念及性质 1.圆的有关概念 (1)弦：连接圆上任意两点的线段.如图中CD. (2)直径：经过圆心的弦.如图中BD (3)孤：连接圆上任意两，点间的部分 孤优孤：大于半圆的孤 劣孤：小于半圆的孤 (4)等孤：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤 (5)圆心角：顶点在圆心的角.如图中∠AOB. (6)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中∠CDB 2.圆的性质 (1)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.过圆心的任意一条直线 都是它的对称轴，圆心是它的对称中心 (2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合. 3.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦也 相等. (2)推论1：在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相 等，所对的弦相等。 (3)推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相 等，所对的弧也相等。 4.圆周角定理及其推论 (1)定理：一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (2)推论1：同孤或等孤所对的圆周角相等. (3)推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是 直径 众相原创·广西数学 33 【温馨提示】①一条弦对应两条弧，这两条孤所对的圆周角互补；②一条孤 只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角.当已知圆心角，求其对应的圆 周角度数时，若未画出图形，则需要分类讨论（分圆周角顶点在优孤和劣 孤上两种情况). 5.垂径定理及其推论 (1)定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分孩所对的 两条孤 (2)推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条孤 6.圆内接四边形 (1)圆内接四边形的对角互补 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角 7.构造辅助圆解决问题的常见模型 模型 模型特点 示例 如图，A是定点，B是动点， 情形一：动点到 AB=r固定，则点B在以点 定点的距离固定 A为圆心，r为半径的圆上 定点 定长 如图，AB=AC=AD,则点 情形二：三条共 B,C,D在以点A为圆心， 端，点的线段相等 AB为半径的圆上 如图，AB固定，C为动点，且 线段固定，且该 定弦 LACB=a,则点C在以AB 线段所对的角度 对定角 为弦，∠ACB=&为圆周角 固定 的圆上 34 众相原创·广西数学 续表 模型 模型特点 示例 如图，常考两个对角均 对角互补的四边 四点 为90°，即组成共斜边的 形的四个顶点 共圆 两个直角三角形的四个 共圆 顶点共圆 记背（二十六）与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,如图， 则点A在圆外台>r;点B在圆上白d=r; 点C在圆内台d<r. 2.直线与圆的位置关系 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d, 则直线与圆相离一d>r:直线与圆相切曰d=r; d 直线与圆相交台d<r. 3.切线的性质 (1)圆的切线垂直于过切点的半径； (2)圆心到切线的距离等于半径； (3)切线和圆只有一个公共点. 4.切线的判定 (1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定思路： 已知公共点，连半径，证垂直)； (2)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）： (3)如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 (判定思路：未知公共点，作垂直，证半径). 众相原创·广西数学 35 5.切线长定理 从圆外一，点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角. 6.三角形的外接圆 (1)定义：经过三角形三个顶点的圆. (2)三角形的外心：三条边的垂直平分线的交点 (3)外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离 相等，如图，OA=OB=OC 7.三角形的内切圆 (1)定义：与三角形各边都相切的圆 (2)三角形的内心：三角形三条角平分线的交点 (3)内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的 距离相等.如图，OD=OE=OF 记背（二十七）与圆有关的计算 1.弧长、扇形面积的计算 设R为圆的半径，n°为孤所对的圆心角的度数，l为孤长 (1)孤长公式：l=nmB 180 (2)扇形面积公式S=”πR=} 360=2 2.阴影部分面积的计算方法 (1)公式法：适用于规则图形，如扇形、正方形、三角形等； (2)和差法：适用于可转化为规则图形的和或差的不规则图形； (3)等积转换法：适用于需要利用平移、旋转、对称或证全等等方式，转换 为规则图形的和或差的不规则图形. 36 众相原创·广西数学 3.圆锥的相关计算 如图，设l为母线长，r为底面圆半径，h为圆锥的高，n° 为圆锥展开图扇形所对的圆心角的度数 (1)底面圆面积：S=2; (