第四章 4.1.2 指数函数的性质与图像(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 ４. １. ２　 指数函数的性质与图像 第 １ 课时　 指数函数的性质与图像 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解指数函数的实际背景ꎬ理解指数函数的概念. ２. 掌握指数函数的性质与图像. ３. 初步学会运用指数函数来解决问题. 核心素养 数学抽象素养　 直观想象素养　 数学建模素养 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 指数函数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　函数 　 　 　 　 称为指数函数ꎬ其中 ａ 是常 数ꎬａ > ０ 且ａ≠１. 　 　 思考:(１)为什么指数函数的底数 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１? (２)指数函数的解析式有什么特征? 　 　 做一做 (２０２３􀅰四川省宜宾市期末)若指数函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图像过点( － ２ꎬ４)ꎬ则 ｆ(３) ＝ 　 　 　 . 知识点 ２ 指数函数的图像和性质 ０ < ａ < １ ａ > １ 图像 定义域 实数集 Ｒ 值域 　 　 　 　 性质 过定点 　 　 　 　 是 　 　 　 　 函数 是 　 　 　 　 函数 　 　 思考:(１)对于指数函数 ｙ ＝ ２ｘꎬｙ ＝ ３ｘꎬｙ ＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ｘ ꎬｙ ＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ｘ ꎬ􀆺ꎬ为什么一定过点(０ꎬ１)? (２)对于指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)ꎬ 在下表中ꎬ? 处 ｙ 的范围是什么? 底数 ｘ 的范围 ｙ 的范围 ａ > １ ｘ > ０ ? ｘ < ０ ? ０ < ａ < １ ｘ > ０ ? ｘ < ０ ? 　 　 做一做 (２０２３􀅰江苏省盐城市期末)如果指数函数 ｆ(ｘ) ＝ (１ － ３ａ) ｘ 是 Ｒ 上的增函数ꎬ那么实数 ａ 的取值范围是 ( Ｄ ) Ａ. ０ꎬ１３ æ è ç ö ø ÷ 　 　 　 　 　 Ｂ. (１ꎬ ＋ ∞ ) Ｃ. Ｒ 　 　 　 　 　 Ｄ. ( － ∞ ꎬ０) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 005 {#{QQABIYoAggAoAAIAAAhCQwEACEEQkACCCIoGwAAAMAIBgQFABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 指数函数的概念 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ (１)函数 ｙ ＝ (ａ２ － ３ａ ＋ ３)􀅰ａｘ 是指数函数ꎬ则 ａ 的值为 　 　 　 　 . (２)指数函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的图像经过点(πꎬ ｅ)ꎬ则 ｆ( － π) ＝ 　 　 　 　 . [分析] 　 (１)根据指数函数解析式的特征 列方程求解. (２)设出指数函数的解析式ꎬ代入点的坐标 求 ｆ( － π). 　 　 规律方法:判断一个函数是指数函数的 方法 (１)把握指数函数解析式的特征:①底数 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎻ②ａｘ 的系数为 １ꎻ③自变量 ｘ 的系 数为 １. (２)有些函数需要对解析式变形后判断ꎬ如 ｙ ＝ １ ３ｘ ＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ｘ 是指数函数. 　 　 对点训练❶ (１)函数 ｆ(ｘ) ＝ (２ａ －３)ａｘ 是指数函数ꎬ则ｆ(１) ＝ ( Ｄ ) Ａ. ８ Ｂ. ３２ Ｃ. ４ Ｄ. ２ (２ ) 指数函数 ｙ ＝ ｆ ( ｘ) 的图像经过点 － ２ꎬ１４ æ è ç ö ø ÷ꎬ那么ｆ(４)􀅰ｆ(２) ＝ 　 　 　 　 . 题型二 指数函数的图像问题 典 例 剖 析 　 　 典例 ２ (１)函数 ｙ ＝ ａｘꎬｙ ＝ ｘ ＋ ａ 在同一 坐标系中的图像可能是 ( Ｄ ) (２)要得到函数 ｙ ＝ ２３ － ｘ的图像ꎬ只需将函 数 ｙ ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ｘ 的图像 ( Ａ ) Ａ. 向右平移 ３ 个单位　 Ｂ. 向左平移 ３ 个单位 Ｃ. 向右平移 ８ 个单位　 Ｄ.向左平移８ 个单位 [分析] 　 (１)要注意对 ａ 进行讨论ꎬ分 ０ < ａ < １ 和 ａ > １ 两种情况讨论判断. (２)先对解析式变形ꎬ再进行判断. 　 　 规律方法:函数图像问题的处理技巧 (１)抓住图像上的特殊点ꎬ如指数函数的图像过 定点. (２)利用图像变换ꎬ如函数图像的平移变换 (左右平移、上下平移). (３)利用函数的奇偶性与单调性ꎬ奇偶性确 定函数的对称情况ꎬ单调性决定函数图像的 走势. 　 　 对点训练❷ (２０２３􀅰河北省石家庄市 期末)函数 ｙ ＝ ２ －