第四章 4.1.1 实数指数幂及其运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 第四章　 指数函数、对数函数与幂函数 ４. １　 指数与指数函数 ４. １. １　 实数指数幂及其运算 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解 ｎ 次方根、ｎ 次根式的概念ꎬ能正确运用根式运算性质化简求值. ２. 理解有理数指数幂的含义ꎬ能正确运用其运算法则进行化简、计算. ３. 理解无理数指数幂ꎬ了解指数幂的拓展过程. ４. 掌握实数指数幂的运算法则. 核心素养 数学抽象　 数学运算　 数学抽象素养 必备知识􀅰探新知 知识点 １ ｎ 次方根 　 　 (１)定义:给定大于 １ 的正整数 ｎ 和实数 ａꎬ 如果存在实数 ｘꎬ使得 　 　 　 　 ꎬ则 ｘ 称为 ａ 的 ｎ 次方根. (２)表示: ｎ 为奇数 ｎ 为偶数 ａ∈Ｒ ａ > ０ ａ ＝ ０ ａ < ０ ｘ ＝ 　 　 　 　 ｘ ＝ 　 　 　 　 ０ 不存在 　 　 思考:对于式子 ｎ ａ中 ａ 一定是非负数吗? 如不是ꎬ其范围是什么? 做一做 (多选题) (２０２３􀅰广东省广州市月考)下 列结论正确的是 ( 　 ) Ａ. ３ － ２７ ＝ ３ Ｂ. １６ 的 ４ 次方根是 ± ２ Ｃ. ４ ８１ ＝ ± ３ Ｄ. (ｘ ＋ ｙ) ２ ＝ ｜ ｘ ＋ ｙ ｜ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 {#{QQABKYoEogiAABIAAAhCQwFwCEEQkBACCAoGxAAEIAIBwRFABAA=}#} 知识点 ２ 根式 　 　 (１)当 ｎ ａ有意义时ꎬ ｎ ａ称为根式ꎬｎ 称为 根 指数　 ꎬａ 称为被开方数. (２)性质: ① ( ｎ ａ )ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 ꎻ ② ｎ ａｎ ＝ 　 　 　 　 ꎬｎ为奇数ꎬ 　 　 　 　 ꎬｎ为偶数.{ 　 　 思考:( ｎ ａ) ｎ 与 ｎ ａｎ中的字母 ａ 的取值范围 是否一样? 知识点 ３ 分数指数幂的意义 正分 数指 数幂 ｎ 为正整数ꎬ ｎ ａ有意义ꎬ且 ａ≠０ 时ꎬ规定 ａ １ ｎ ＝ 　 　 　 　 正分数 ｍ ｎ ꎬａ ｍ ｎ ＝ 　 　 　 　 ＝ ｎ ａｍ 负分数 指数幂 ｓ 是正分数ꎬａｓ 有意义且 ａ≠０ 时ꎬ规定 ａ － ｓ ＝ 　 　 　 　 　 　 思考:分数指数幂中的ｍｎ有什么规定? 　 　 做一做 (２０２３􀅰陕西省延安市期中)下列关系式 中ꎬ根式与分数指数幂的互化正确的是 　 　 　 　 　 　 　 　 . (填序号) ① － ｘ ＝ ( － ｘ) １ ２ (ｘ > ０)ꎻ ② ６ ｙ２ ＝ ｙ １ ３ (ｙ < ０)ꎻ ③ｘ － ３ ４ ＝ ４ １ ｘ æ è ç ö ø ÷ ３ (ｘ > ０)ꎻ ④ｘ － １ ３ ＝ － ３ ｘ(ｘ≠０)ꎻ ⑤ ａ ａ ＝ ａ ３ ４ (ａ > ０) . 知识点 ４ 无理数指数幂 　 　 当 ａ > ０ 且 ｔ 是无理数时ꎬａｔ 是一个确定 的 实数　 . 思考:当 ａ > ０ 时ꎬ式子 ａｘ 中的 ｘ 的范围是 什么? 知识点 ５ 实数指数幂的运算法则(ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬｒꎬｓ∈Ｒ) 　 　 (１)ａｒａｓ ＝ 　 　 　 　 . (２)(ａｒ) ｓ ＝ 　 　 　 　 . (３)(ａｂ) ｒ ＝ 　 　 　 　 . 　 　 做一做 化简(式中各字母均为正数): (１)(ｘ ２ｙ ３) ６ꎻ (２)４ｘ １ ２􀅰３ｘ － １ ２( － ｙ ３)􀅰ｙ － ３ ３ ꎻ (３) ａ􀅰 ３ ａ􀅰 ａ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 002 {#{QQABKYoEogiAABIAAAhCQwFwCEEQkBACCAoGxAAEIAIBwRFABAA=}#} 　 　 　 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 ｎ 次方根的概念及相关问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　典 例 剖 析 　 　 典例 １ (１)求使等式 (ａ －３)(ａ２ －９) ＝ (３ － ａ) ａ ＋３成立的实数 ａ 的取值范围ꎻ