第四章 4.5 增长速度的比较(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 在函数 ｙ ＝ １ ｘ２ ꎬｙ ＝ ２ｘ２ꎬｙ ＝ ｘ２ ＋ ｘꎬｙ ＝ １ 中幂函 数的个数为 ( Ｂ ) Ａ. ０　 　 　 Ｂ. １　 　 　 Ｃ. ２　 　 　 Ｄ. ３ ２. 在同一坐标系中ꎬ函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘａ(ｘ > ０)ꎬｇ(ｘ) ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)的图像可能是 ( Ｄ ) ３. (多选题) (２０２２􀅰湖南省长沙市月考)下列 结论中ꎬ错误的是 ( 　 ) Ａ. 幂函数 ｙ ＝ ｘ －１ꎬｙ ＝ ｘ 的图像都过点(０ꎬ０)ꎬ (１ꎬ１) Ｂ. 当 α ＝ １ꎬ２ꎬ３ꎬ１２ ꎬ － １ 时ꎬ幂函数 ｙ ＝ ｘ α 的图 像都经过第一、三象限 Ｃ. 在幂指数 α 取 １ꎬ３ꎬ １２ 时ꎬ幂函数 ｙ ＝ ｘ α 是 增函数 Ｄ. 当幂指数 α ＝ － １ 时ꎬ幂函数 ｙ ＝ ｘα 在其整 个定义域上是减函数 ４. 函数 ｙ ＝ ｘ －２ 在区间 １３ ꎬ２ é ë ê ê ù û ú ú上的最大值是 　 　 　 　 　 　 　 . ５. 若函数 ｆ( ｘ) ＝ (２ｍ ＋ ３) ｘｍ ２ －３是幂函数ꎬ则 ｍ 的值为 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[９] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４. ５　 增长速度的比较 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 能利用函数的平均变化率ꎬ说明函数的增长速度. ２. 比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异ꎬ理解“对数增长”“直线上升”“指 数爆炸”等术语的现实含义. 核心素养 数学抽象　 逻辑推理 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点 １ 函数的平均变化率 　 　 (１)定义:函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间[ｘ１ꎬｘ２]上的 平均变化率为ΔｆΔｘ ＝ 　 　 　 　 　 . (２)实质: 函数值　 的改变量与自变量的改 变量之比. (３)理解:自变量每增加 １ 个单位ꎬ函数值 将增加 　 　 　 　 个单位. (４)应用:比较函数值变化的快慢. 　 　 思考:对于函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ １ꎬｇ(ｘ) ＝ ４ｘ － ３ꎬ 当 Δｘ 足够大时ꎬ对于 ｘ∈Ｒꎬｆ(ｘ０ ＋ Δｘ)ꎬｇ(ｘ０ ＋ Δｘ)的大小关系能确定吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 {#{QQABIYqEggCoABAAAAgCQwUwCEIQkBACCAoGwAAIMAIBwRFABAA=}#} 做一做 (２０２３􀅰河南省开封市月考)如图所示ꎬ函 数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在[１ꎬ３]上的平均变化率为 ( Ｂ ) Ａ. １ Ｂ. － １ Ｃ. ２ Ｄ. － ２ 知识点 ２ 三种常见函数模型的增长差异 　 　 函数 　 性质　 　 　 ｙ ＝ ａｘ(ａ >１) ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > １) ｙ ＝ ｋｘ(ｋ > ０) 在(０ꎬ ＋ ∞ )上 的增减性 增函数　 增函数 增函数　 图像的 变化 随 ｘ 的增大 逐渐变“陡” 随 ｘ 的增大 逐渐趋于稳定 随 ｘ 的增大 匀速上升 增长 速度 ｙ ＝ ａｘ 的增长快于 ｙ ＝ ｋｘ 的增长ꎬｙ ＝ ｋｘ 的 增长快于 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ 的增长 增长 后果 会存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬ有 ａｘ > ｋｘ > ｌｏｇａｘ 　 　 思考:指数增长和线性增长中增长速度哪 一个大? 做一做 某公司为了适应市场需求ꎬ对产品结构进 行了重大调整ꎬ调整后初期利润增长迅速ꎬ后来 增长越来越慢ꎬ若要建立恰当的函数模型来反 映该公司调整后利润 ｙ 与产量 ｘ 的关系ꎬ则可选 用 ( Ｄ ) Ａ. 一次函数模型 Ｂ. 二次函数模型 Ｃ. 指数函数模型 Ｄ. 对数函数模型 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 比较函数值增加的快慢 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １ 已知函数 ｙ ＝ ４ｘꎬ分别计算函数