第四章 4.4 幂函数(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

　 　 　 易错警示 　 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 ４ 函数 ｙ ＝ ｌｏｇ２ｘ(ｘ≥１)的反函数 的定义域为 　 　 　 　 . [错解] 　 Ｒ　 ∵ 函数 ｙ ＝ ｌｏｇ２ｘ 的反函数为 ｙ ＝ ２ｘꎬ ∴ ｘ∈Ｒ. [辨析] 　 误解中忽视了反函数的定义域是 原函数的值域. 　 　 [正解] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 函数 ｙ ＝ ｌｏｇ３ｘ 的反函数是 ( Ｂ ) Ａ. ｙ ＝ ｌｏｇ １ ３ ｘ　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. ｙ ＝ ３ｘ Ｃ. ｙ ＝ １３ æ è ç ö ø ÷ ｘ Ｄ. ｙ ＝ ｘ３ ２. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ(０ < ｘ≤２)的反函数的定义域 为 ( Ｂ ) Ａ. (０ꎬ ＋ ∞ ) Ｂ. (１ꎬ４] Ｃ. (０ꎬ１) Ｄ. [４ꎬ ＋ ∞ ) ３. 若函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)是函数 ｙ ＝ ２ｘ 的反函数ꎬ则 ｆ[ ｆ(２)]的值为 　 　 　 　 . ４. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇ３ ( ｘ ＋ ３)的反函数的图像与 ｙ 轴的交点坐标是 　 　 　 　 . ５. 已知 ｆ(ｘ) ＝ １ － ３ ｘ １ ＋ ３ｘ ꎬ求 ｆ －１ ４５ æ è ç ö ø ÷的值. 请同学们认真完成练案[８] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４. ４　 幂函数 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 了解幂函数的概念ꎬ会求幂函数的解析式. ２. 通过具体实例ꎬ结合 ｙ ＝ ｘꎬｙ ＝ ｘ２ꎬｙ ＝ ｘ３ꎬｙ ＝ ｘ －１ꎬｙ ＝ ｘ １ ２ 的图像ꎬ理解它们的变化规律ꎬ了解幂 函数. 核心素养 数学抽象　 逻辑推理 027 {#{QQABIYqEggAgABBAAQhCQwEwCEIQkAACAAoGhBAAMAIBQQFABAA=}#} 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 幂函数的概念 　 　 形如 　 　 　 　 的函数称为幂函数ꎬ其中 α 是常数. 　 　 思考:(１)幂函数的解析式有什么特征? (２) 幂函数与指数函数解析式的区别是 什么? 做一做 １. 给出下列函数: ①ｙ ＝ ｘ２ꎻ②ｙ ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ｘ ꎻ③ｙ ＝ ５ｘ３ꎻ④ｙ ＝ ｘ２ ＋ １ꎻ⑤ｙ ＝ (ｘ － １) ２ꎻ⑥ｙ ＝ ｘꎻ⑦ｙ ＝ ａｘ(ａ > １ꎬａ 为常 数) . 其中是幂函数的有 ①⑥　 (填序号) . 　 　 ２. (２０２３􀅰湖北省孝感市期中)幂函数 ｆ(ｘ) 的图像过点 ４ꎬ１２ æ è ç ö ø ÷ꎬ那么 ｆ(８)的值是 　 　 　 　 . 知识点 ２ 幂函数共同的性质 　 　 (１)所有幂函数在区间(０ꎬ ＋ ∞ )上都有定 义ꎬ在第一象限内都有图像ꎬ并且图像都通过 (１ꎬ１) . (２)如果 α > ０ꎬ则幂函数的图像通过原点ꎬ 并且在区间[０ꎬ ＋ ∞ )上是增函数. (３)如果 α < ０ꎬ则幂函数在区间(０ꎬ ＋ ∞ ) 上是减函数ꎬ且在第一象限内:当 ｘ 从右边趋向 于原点时ꎬ图像在 ｙ 轴右方且无限地逼近 ｙ 轴ꎻ 当 ｘ 趋向于 ＋ ∞ 时ꎬ图像在 ｘ 轴上方且无限地 逼近 ｘ 轴. 　 　 思考:当 α < ０ 时ꎬ幂函数的图像是否过 原点? 做一做 (２０２２ 􀅰 吉 林 省 长 春 市 模 拟 ) 设 α ∈ －１ꎬ１ꎬ１２ ꎬ３{ }ꎬ则使函数 ｙ ＝ ｘ α 的定义域为Ｒ 且 ｙ ＝ ｘα 为奇函数的所有 α 的值为 ( Ａ ) Ａ. １ꎬ３　 　 　 　 　 　 　 Ｂ. － １ꎬ１ Ｃ