第四章 4.3 指数函数与对数函数的关系(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第二册同步学习指导（人教B版2019）

课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 函数 ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｜ ｘ ｜的大致图像是 ( Ｄ ) ２. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ １ ＋ ｌｏｇ３ｘꎬｘ∈[９ꎬ８１]ꎬ则ｆ(ｘ) 的最大值为 ( Ｃ ) Ａ. ３ Ｂ. ４ Ｃ. ５ Ｄ. ６ ３. 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｇ － ｘ２ ＋ ４ｘ的值域为 　 　 　 　 . ４. 若函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘｌｎ(ｘ ＋ ａ ＋ ｘ２)为偶函数ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 　 . ５. 已知 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇａ １ ＋ ｘ １ － ｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１) . (１)求 ｆ(ｘ)的定义域ꎻ (２)判断函数 ｆ(ｘ)的奇偶性. 请同学们认真完成练案[７] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４. ３　 指数函数与对数函数的关系 素养目标􀅰定方向 课程标准 １. 理解反函数的概念ꎬ了解存在反函数的条件ꎬ会求简单函数的反函数. ２. 理解互为反函数图像间的关系. ３. 知道指数函数 ｙ ＝ ａｘ 与对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ 互为反函数(ａ > ０ 且 ａ≠１) . 核心素养 数学抽象　 数学运算　 直观想象 必备知识􀅰探新知 知识点 １ 反函数的概念 　 　 (１)一般地ꎬ如果在函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)中ꎬ给定值 域中 任意一个 ｙ　 的值ꎬ只有 唯一　 的 ｘ 与之 对应ꎬ那么 ｘ 是 ｙ 的函数ꎬ这个函数称为 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的反函数. 此时ꎬ称 ｙ ＝ ｆ(ｘ)存在反函数ꎬ可 以记作 ｘ ＝ ｆ －１(ｙ) . (２)一般地ꎬ对于函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)的反函数 ｘ ＝ ｆ －１(ｙ)ꎬ习惯上反函数的自变量仍用 ｘ 表示ꎬ 因变量仍用 ｙ 表示ꎬ则函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的反函数记 作 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 {#{QQABIYKAogigAhBAAQgCQwEACkIQkBECCKoGwAAIMAIBQANABAA=}#} 　 　 　 　 　 思考:函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ 有反函数吗? 为什么? 做一做 函数 ｙ ＝ ｘ － １ ＋ １(ｘ≥１)的反函数是 ( Ｂ ) Ａ. ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ ２(ｘ < １) Ｂ. ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ ＋ ２(ｘ≥１) Ｃ. ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ(ｘ < １) Ｄ. ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ(ｘ≥１) 知识点 ２ 求反函数的两种方法 　 　 (１)可以通过对调 ｙ ＝ ｆ( ｘ)中的 ｘ 与 ｙꎬ然 后从 ｘ ＝ ｆ(ｙ)中求出 ｙ 得到反函数 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ) . 　 　 (２)从 ｙ ＝ ｆ( ｘ)反解得到 ｘ ＝ ｆ －１ ( ｙ)ꎬ然后 把 ｘ ＝ ｆ －１(ｙ)中的 ｘꎬｙ 对调得到 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ) . 　 　 做一做 (２０２３􀅰河北省定州中学月考)若函数 ｙ ＝ ａｘ (ａ >０ꎬ且 ａ≠１)的反函数的图像经过点 １４ ꎬ １ ２ æ è ç ö ø ÷ꎬ 则 ａ ＝ 　 　 　 　 . 知识点 ３ 互为反函数的图像与性质 　 　 (１)图像 ｙ ＝ ｆ(ｘ)与 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ)的图像关于直线 ｙ ＝ ｘ　 　 　 　 对称. (２)性质 ①ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域与 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ)的 值域　 相同ꎬｙ ＝ ｆ(ｘ)的值域与 ｙ ＝ ｆ －１ ( ｘ)的 定义域　 相同. ②如果 ｙ ＝ ｆ(ｘ)是单调函数ꎬ那么它的反函 数 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ)一定存在. 此时ꎬ如果 ｙ ＝ ｆ(ｘ)是增 函数ꎬ则 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ)也是 增函数　 ꎻ如果 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 是 减函数　 ꎬ则 ｙ ＝ ｆ －１(ｘ)也是减函数. 做一做 (２０２３􀅰江西省南昌市期中)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｌｏｇ １ ３ (ｘ ＋ ２)的定义域为(１ꎬ７]ꎬ则它的反函数 ｆ －１(ｘ)的定义域为 [ － ２ꎬ － １)　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题型探究 　 题型一 判断函数是否有反函数 典 例 剖 析 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 典例 １