第4章 指数函数与对数函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 要点梳理􀅰晰精华 　 　 (１)根式及其性质: ｎ ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (２)指数运算性质:　 (ａｂ) ｒ ＝ ａｒｂｒ 　 ꎻａｒａｓ ＝ ａｒ ＋ ｓꎬ(ａｒ) ｓ ＝ ａｒｓ . (ａ > ０ꎬｒꎬｓ∈Ｒ) (３)对数运算性质: ｌｏｇａ (ＭＮ) ＝ ｌｏｇａ Ｍ ＋ ｌｏｇａＮꎻｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ ｌｏｇａＭ － ｌｏｇａＮꎻｌｏｇａＭ ｎ ＝ ｎｌｏｇａＭ. (ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ꎬｎ∈Ｒ) (４)换底公式:ｌｏｇａｂ ＝ ｌｏｇｃｂ ｌｏｇｃａ . (ａ > ０ꎬ且 ａ≠ １ꎻｂ > ０ꎻｃ > ０ꎬ且 ｃ≠１) (５)指数函数的图象和性质 一般地ꎬ指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)的 图象与性质如下表所示. ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 定义域 Ｒ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 131 {#{QQABCYCEogAgAAAAAQgCQwVQCEIQkAGCAAoGBAAEMAIBwANABAA=}#} 值域 　 (０ꎬ ＋ ∞ )　 性质 过定点　 (０ꎬ１)　 当 ｘ > ０ 时ꎬｙ > １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬｙ > １ 在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ )上是 　 增　 函数 在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) 上是 　 减　 函数 　 　 (６)对数函数的图象和性质 ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 定义域 　 (０ꎬ ＋ ∞ )　 值域 Ｒ 性质 图象过定点　 (１ꎬ０)　 当 ｘ > １ 时ꎬｙ > ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ < ０ 当 ｘ > １ 时ꎬｙ < ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ > ０ 在 　 (０ꎬ ＋ ∞ ) 　 上 是增函数 在 ( ０ꎬ ＋ ∞ ) 上 是 减 函数 　 　 (７)指数函数与对数函数的关系 对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａ ｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)与指数 函数 　 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１)　 互为反函数ꎬ其 图象关于直线　 ｙ ＝ ｘ　 对称. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 数学运算 核心素养􀈀 　 　 典例 １ 计算求值: (１)(０. ００１) － １ ３ ＋ ４１. ５ － (π － ４) ２ꎻ (２)ｌｏｇ２９ × ｌｏｇ３４ ＋ ２ ｌｏｇ５１０ ＋ ｌｏｇ５０. ２５. [分析] 　 (１)直接利用指数幂的运算化简 求值ꎻ (２)利用对数的运算化简求值. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 指数、对数的运算应遵循的 原则 (１)指数的运算首先注意化简顺序ꎬ一般负 指数先转化成正指数ꎬ根式化为分数指数幂运 算ꎻ其次若出现分式则要注意分子、分母因式分 解以达到约分的目的. (２)对数的运算首先注意公式应用过程中 范围的变化ꎬ前后要等价ꎬ熟练地运用对数的运 算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计 算、化简、证明的常用技巧. 直观想象 核心素养􀈁 　 　 典例 ２ 函数 ｙ ＝ ２ｌｏｇ４ (１ － ｘ)的图象大 致是 ( Ｃ ) [归纳提升] 　 弄清所给函数与基本函数的 关系ꎬ恰当选择平移、对称等