第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 一元 二次 函数、 方程 和不 等式 — — 等式性质 和不等式 性质 — — 不等关系与不等式的概念 — 等式性质 — 不等式的基本性质 — 比较实数的大小(比较法) — 基本不等式 ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ (ａ > ０ꎬｂ > ０) — — 基本不等式的变式与拓展 — 最值定理 (ａ > ０ꎬｂ > ０) — — 若 ａ ＋ ｂ ＝ Ｓ(定值)ꎬ则当 ａ ＝ ｂ 时ꎬａｂ 取得最大值 １４ Ｓ ２ — — 若 ａｂ ＝ Ｐ(定值)ꎬ则当 ａ ＝ ｂ 时ꎬａ ＋ ｂ 取得最小值 ２ Ｐ — — 求最值的常用方法 — 基本不等 式的应用 — — 求实际应用问题的最值 — 比较实数的大小 — 证明不等式 — 二次函数 与一元二 次方程、 不等式 — — 一元二次不等式的概念 — 三个“二次”(一元二次方程的根、一元二次函数的 图象、一元二次不等式的解集)之间的关系 — 一元二次不等式的解法 — 利用三个“二次” 之间的关系 — — 不含参数的一元二次不等式的解法 — 含参数的一元二次不等式的解法 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １. 如果 ａ － ｂ > ０ꎬ那么 ａ > ｂ　 ꎻ如果 ａ － ｂ < ０ꎬ那么ａ < ｂ　 ꎻ如果 ａ － ｂ ＝ ０ꎬ那么 ａ ＝ ｂ　 . ２. 不等式的性质 性质 １　 ａ > ｂ⇔ ｂ < ａ　 . 性质 ２　 ａ > ｂꎬｂ > ｃ⇒ ａ > ｃ　 . 性质 ３　 ａ > ｂ⇒ ａ ＋ ｃ > ｂ ＋ ｃ　 ꎻ推论:ａ ＋ ｂ > ｃ⇒ ａ > ｃ － ｂ　 . 性质 ４　 ａ > ｂꎬｃ > ０⇒ ａｃ > ｂｃ　 ꎻａ > ｂꎬｃ < ０ ⇒ａｃ < ｂｃ. 性质 ５　 ａ > ｂꎬｃ > ｄ⇒ ａ ＋ ｃ > ｂ ＋ ｄ　 . 性质 ６　 ａ > ｂ > ０ꎬｃ > ｄ > ０⇒ ａｃ > ｂｄ　 . 性质 ７　 ａ > ｂ > ０⇒ ａｎ > ｂｎ(ｎ∈Ｎꎬｎ≥２) . ３. 基本不等式: ａｂ≤ａ ＋ ｂ２ (ａ > ０ꎬｂ > ０)ꎬ 变式:ａ ＋ ｂ≥ 　 　 　 　 ꎬａｂ≤ ａ ＋ ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ２ . ４. ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ > ０)有两个不相等的实 根 ｘ１ꎬｘ２(ｘ１ < ｘ２)时ꎬａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ > ０)的解 集是 {ｘ ｜ ｘ > ｘ２ 或 ｘ < ｘ１}　 ꎬ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０ (ａ > ０)的解集是 {ｘ ｜ ｘ１ < ｘ < ｘ２}　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 051 {#{QQABCYAEogggAhBAAQgCQwVACkEQkBECAKoGQBAEMAIBgAFABAA=}#} 　 　 ５. ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ > ０)有两个相等的实数 根 ｘ１ ＝ ｘ２ 时ꎬａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ > ０)的解集是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０(ａ > ０) 的解集是 　 　 ⌀　 . ６. ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ > ０)无实数根时ꎬａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０(ａ > ０)的解集是 　 　 Ｒ　 ꎬａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０(ａ > ０)的解集是 　 　 ⌀　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 素养突破􀅰提技能 数学运算 核心素养􀈀 　 　 考查方向　 比较大小 　 　 典例 １ 设 ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠ －１ꎬ试比较 １１ ＋ ｘ 与 １ － ｘ 的大小. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋