第1章 集合与常用逻辑用语 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（人教A版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 要点梳理􀅰晰精华 　 　 (１)集合中元素的三个特性:　 确定性　 、 　 无序性　 、　 互异性　 . (２)集合的三种表示方法:　 列举法　 　 、 　 描述法　 、　 图示法　 . (３)自然数集记作　 Ｎ　 ꎻ正整数集记作　 Ｎ∗ 或Ｎ ＋ 　 ꎻ整数集记作 　 Ｚ 　 　 ꎻ有理数集记作 　 Ｑ　 　 ꎻ实数集记作　 Ｒ　 　 . (４)Ａ 是 Ｂ 的子集记作Ａ⊆Ｂ(或 Ｂ⊇Ａ) 　 ꎬ Ａ 是 Ｂ 的真子集记作 Ａ⫋Ｂ(或 Ｂ⫌Ａ) . (５)由集合之间的基本关系推出的结论即 Ａ⊆Ａꎬ若 Ａ⊆Ｂꎬ且 Ｂ⊆Ｃꎬ则 Ａ⊆Ｃ. (６)并集 Ａ∪Ｂ ＝ {ｘ ｜ 　 ｘ∈Ａꎬ或 ｘ∈Ｂ　 }ꎻ交 集 Ａ∩Ｂ ＝ {ｘ ｜ 　 ｘ∈Ａꎬ且 ｘ∈Ｂ 　 }ꎻ补集 ∁ＵＡ ＝ {ｘ ｜ 　 ｘ∈Ｕꎬ且 ｘ∉Ａ　 }. (７)如果 ｐ⇒ｑꎬ那么 ｐ 是 ｑ 的 　 充分 　 条 件ꎬｑ 是 ｐ 的　 必要　 条件. 如果 ｐ⇔ｑꎬ那么 ｐ 与 ｑ 互为　 充要条件　 . (８)全称量词命题∀ｘ∈Ｍꎬｐ( ｘ)的否定: 　 ∃ｘ∈Ｍꎬ¬ ｐ(ｘ)　 ꎻ存在量词命题∃ｘ∈Ｍꎬ ｐ(ｘ)的否定:　 ∀ｘ∈Ｍꎬ¬ ｐ(ｘ)　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 {#{QQABAYAAggAAAgAAAAhCQwEwCkEQkBGCCCoGAAAIIAIBQAFABAA=}#} 素养突破􀅰提技能 数学抽象 核心素养􀈀 　 　 考查方向　 集合的基本概念 　 　 典例 １ (１)集合 Ｍ ＝ {ｘ ｜ ａｘ２ － ３ｘ － ２ ＝ ０ꎬａ∈Ｒ}中只有一个元素ꎬ则实数 ａ 的值是　 　 　 　 　 　 . (２)已知集合 Ａ ＝ {ｍ ＋ ２ꎬ２ｍ２ ＋ ｍ}ꎬ若 ３∈ Ａꎬ则 ｍ 的值为　 　 　 　 　 . [归纳提升] 　 解决集合的概念问题的关注点 (１)研究一个集合ꎬ首先要看集合中的代表 元素ꎬ然后再看元素的限制条件. 当集合用描述 法表示时ꎬ注意弄清元素表示的意义是什么. (２)对于含有字母的集合ꎬ在求出字母的值 后ꎬ要注意检验集合的元素是否满足互异性. 数学运算 核心素养􀈁 　 　 考查方向　 集合基本运算 　 　 典例 ２ (１)设全集 Ｕ ＝ { ｘ∈Ｎ∗ ｜ ｘ < ６}ꎬ集合 Ａ ＝ {１ꎬ３}ꎬＢ ＝ {３ꎬ５}ꎬ则∁Ｕ(Ａ∪Ｂ) 等于 ( Ｄ ) Ａ. {１ꎬ４}　 　 　 　 　 Ｂ. {１ꎬ５} Ｃ. {２ꎬ５} Ｄ. {２ꎬ４} (２)设集合 Ａ ＝ { － １ꎬ２ꎬ７}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｘ２ － ７ｘ ＋ ｍ ＝ ０}ꎬ若 Ａ∩Ｂ ＝ {２}ꎬ则 Ｂ ＝ ( Ｃ ) Ａ. {２ꎬ － １０} Ｂ. {２ꎬ０} Ｃ. {２ꎬ５} Ｄ. {２ꎬ１０} [归纳提升] 　 集合基本运算的方法 一般来讲ꎬ集合中的元素若是离散的ꎬ则用 Ｖｅｎｎ 图表示ꎻ集合中的元素若是连续的实数ꎬ 则用数轴表示ꎬ此时要注意端点的情况. 考查方向　 利用集合运算求参数 　 　 典例 ３ (１)已知集合 Ａ ＝ {１ꎬ３ꎬ ｍ}ꎬ Ｂ ＝ {１ꎬｍ}ꎬＡ∪Ｂ ＝ Ａꎬ则 ｍ 等于 ( Ｂ ) Ａ. ０ 或 ３ Ｂ. ０ 或 ３ Ｃ. １ 或 ３ Ｄ. １ 或 ３ (２)设集合 Ａ ＝ {０ꎬ１}ꎬ集合 Ｂ ＝ {ｘ ｜ ｘ > ａ}ꎬ 若Ａ∩Ｂ ＝⌀ꎬ则实数 ａ 的取值范围是 ( Ｂ ) Ａ. {ａ ｜ ａ≤１} Ｂ. {ａ ｜ ａ≥１} Ｃ. {ａ ｜ ａ≥０} Ｄ. {ａ ｜ ａ≤０} [归纳提升] 　 利用集合的运算求参数的范 围的注意点 (１)要弄清楚集合运算的结果或可能的结 果ꎬ再根据其中的结果判定参数的值或范围. (２)当集合的运算较为复杂时ꎬ要借助于数 轴或韦恩图解决问题. (３)注意参数的值或范围应该满足集合中 元素的互异性. 直观想象 核心素养􀈂 　 　 考查方向　 集合运算的综合应用 　 　 典例 ４ 已知集合 Ａ ＝ { ｘ ｜ ０≤ｘ≤２}ꎬ Ｂ ＝ {ｘ ｜ ａ≤ｘ≤ａ ＋ ３} . (１)若(∁ＲＡ)∪Ｂ ＝ Ｒꎬ求 ａ 的取值范围ꎻ (２)是否存在 ａꎬ使(∁ＲＡ)∪Ｂ ＝ Ｒ 且 Ａ∩Ｂ ＝⌀? 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�