专题5.4 函数的奇偶性（七个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题5.4函数的奇偶性 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点2 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 重难点1函数奇偶性的判断 【例1】下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-1】（多选）以下函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式1-3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 判断函数奇偶性的2种方法： （1）定义法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）图象法：若的图象关于轴对称，则为偶函数； （2）图象法：若的图象关于原点对称，则为奇函数. 重难点2补充奇偶函数的图象 【例3】（多选）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（   ） A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 【例4】已知函数在轴右边的一部分图象如图所示． (1)判断函数奇偶性并证明，作出函数在轴左边的图象． (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义加以证明． 【变式2-1】定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是 .    【变式2-2】若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是 ．    【变式2-3】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分 (1)请画出函数当时的图象； (2)写出函数的解析式，值域，增区间． 若为偶函数，则的图象关于轴对称； 若为奇函数，则的图象关于原点对称. 重难点3利用奇偶性求函数值 【例5】设偶函数对任意，都有，当时，．则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知 且，则= . 【变式3-1】设为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．11 B． C．13 D． 【变式3-2】已知函数，若，则 . 【变式3-3】设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为 ． 重难点4利用奇偶性求解析式 【例7】已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【例8】设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若是上的奇函数，且当时，，则当， ． 【变式4-2】已知奇函数则 ． 【变式4-3】已知函数的图象关于原点对称，且当时，．    (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设． （2）转化到已知区间上，代入已知的解析式． （3）利用的奇偶性写出或，从而解出． 重难点5利用奇偶性求参数 【例9】已知函数是偶函数，则的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数为奇函数，则的值是（    ） A．0 B． C．12 D．10 【变式5-1】若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ． 【变式5-3】已知函数是奇函数，则 . 利用奇偶性求参数的2种类型: （1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称