专题2-4 椭圆与双曲线离心率相关问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-4 椭圆与双曲线离心率相关问题 一、常见的离心率的求法： 1 定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程． ② 几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． ③ 构造齐次方程求离心率 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解． 二、求离心率范围 建立不等式： 1、利用焦半径的取值范围建立不等关系 为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 2、利用最大顶角建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为． 3、利用题目不等关系建立不等关系． 4、利用判别式建立不等关系． 5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 6、利用基本不等式，建立不等关系． 2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理 1．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 2021年全国乙卷（理）T11 2．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线 3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为 ． 重点题型·归类精讲 题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边 1． 已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________. 2． 、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 3． 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4． （2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 . 利用正余弦定理 2024届·厦门大学附属科技中学10月月考 5． 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 6． 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________. 构造齐次方程求离心率 7． 双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D．2 8． 已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 9． 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10． 已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 11． 设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 利用勾股定理构造等式 12． （2024届河南省实验中学高三校考）设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评 13． 已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 利用2次余弦定理 14． 已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ） A． B． C． D． 15． 设分别为椭圆的左、右焦点，点均在上，若，，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 16． 椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C．