圆锥曲线方程中与e^2-1有关的三类问题讲义-2023届高三数学二轮复习

与e2-1有关的三类问题 1. 中点弦问题（点差法、设而不求法） 斜率为K1的直线交椭圆或双曲线于A、B两点，若M为线段AB中点，且直线OM的斜率为K2，则K1K2e21（过椭圆内一点做一条直线，使得存在上述情况的直线一定存在；但双曲线不一定，需要检验.） 注：若A、B为双曲线渐近线上两点，M为线段AB中点，亦有上述结论; 若是抛物线，M（x0，y0），则KAB(P为焦点到准线距离) 弦长公式：设直线y=kx+m与圆锥曲线交于M、N两点，则： MN=｜｜= =｜｜= 上述结论如何得到呢？蕴含的方法又是什么呢？下面以椭圆为例，介绍点差法与设而不求法： 例1：椭圆C:=1，直线：y=k1xb与C交与A、B两点，M为线段AB的中点，设直线OM的斜率为K2，试求K1K2的关系设点，但不需要把点求出来 解：设A（x1，y1） B（x2，y2） 两点位于椭圆上 有：=1 =1 两式相减得：0分别把两点带入，两式相减可得到斜率表达式 即= K2= 则- - =-1 例2：（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________． 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，（前面其实就可以直接由我们的二级结论知道两个斜率乘积关系）设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即 例3：已知M（2，1），是否存在直线l与双曲线：=1交于A、B两点，且满足M为AB中点，若存在求出直线；若不存在请说明理由 解：设A（，) B () 有：=2 且= 则=4 且AB经过点M 所以l：4xy70 联立双曲线：14x256x510双曲线的中点弦问题需检验 ∆280>0 所以存在l:4xy70满足题意. 1. 切线类问题 定理：过椭圆或双曲线上任意一点P（不是曲线的顶点）作其切线，设切线斜率为K1，直线OP斜率为K2，则K1K2=e21. 例4：已知C：1，F1、F2分别为其左右焦点，P是C上除长轴端点的任何一点，过点P作斜率为k的直线L，使该直线与C相切，设PF1、PF2所在直线斜率分别为k1、k2，若k不等于0，求的值 解：设P（x0，y0） k1 则 所以原式= （）8. 1. 对称类问题 定理：若M、N是椭圆或双曲线上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN斜率都存在时，并记为k1、k2，则k1k2 = e21. 例5、（2020·全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 解：（1） 1. 设P（6，n） 则kAC kPA kPB kBD kDAkDBe21 又因为kDB=3kAC 所以 kDAkAC 设C（x1，y1） D(x2，y2) CD:x=my+t 代入椭圆方程得：(m29)y22mtyt290 y1y2 y1y2 所以kDAkCA 得t 则直线CD过定点（，0） 引申：过椭圆上任意一点P（非顶点）作倾斜角互补的直线，交椭圆于A、B两点，则KABKOP（e2-1）． 注：上述曲线均为焦点在x轴上的曲线，若焦点在y轴上，则乘积为 学科网（北京）股份有限公司 $$