第1章 3.2 基本不等式(练案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

练案[１０] 第一章　 预备知识 § ３　 [３. ２　 第 １ 课时　 基本不等式] 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ 组􀅰素养自测 一、选择题 １. 下列不等式中正确的是 ( Ｄ ) Ａ. ａ ＋ ４ａ≥４ Ｂ. ａ ２ ＋ ｂ２≥４ａｂ Ｃ. ａｂ≥ａ ＋ ｂ２ Ｄ. ｘ ２ ＋ ３ ｘ２ ≥２ ３ ２. 不等式(ｘ － ２ｙ) ＋ １ｘ － ２ｙ≥２ 成立的条件为 ( Ｂ ) Ａ. ｘ≥２ｙꎬ当且仅当 ｘ － ２ｙ ＝ １ 时取等号 Ｂ. ｘ > ２ｙꎬ当且仅当 ｘ － ２ｙ ＝ １ 时取等号 Ｃ. ｘ≤２ｙꎬ当且仅当 ｘ － ２ｙ ＝ １ 时取等号 Ｄ. ｘ < ２ｙꎬ当且仅当 ｘ － ２ｙ ＝ １ 时取等号 ３. 已知正数 ａꎬｂ 满足 ａｂ ＝ １０ꎬ则 ａ ＋ ｂ 的最小值 是 ( Ｄ ) Ａ. １０ Ｂ. ２５ Ｃ. ５ Ｄ. ２ １０ ４. 已知 ０ < ｘ < １ꎬ则 ｘ(３ － ３ｘ)取得最大值时 ｘ 的 值为 ( Ｂ ) Ａ. １３ Ｂ. １ ２ Ｃ. ３４ Ｄ. ２ ３ ５. 设 ０ < ａ < ｂꎬ且 ａ ＋ ｂ ＝ １ꎬ在下列四个数中最大 的是 ( Ｂ ) Ａ. １２ Ｂ. ｂ Ｃ. ２ａｂ Ｄ. ａ２ ＋ ｂ２ ６. 已知 ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬＡ ＝ ａ ＋ ｂ２ ꎬＢ ＝ ａｂꎬＣ ＝ ２ａｂ ａ ＋ ｂꎬ 则 ＡꎬＢꎬＣ 的大小关系为 ( Ｄ ) Ａ. Ａ≤Ｂ≤Ｃ Ｂ. Ａ≤Ｃ≤Ｂ Ｃ. Ｂ≤Ｃ≤Ａ Ｄ. Ｃ≤Ｂ≤Ａ 二、填空题 ７.若 ａ <１ꎬ则 ａ ＋ １ａ －１与 －１ 的大小关系是 　 　 　 . ８. 设 ｘ > ０ꎬ则ｘ ２ ＋ ｘ ＋ ３ ｘ ＋ １ 的最小值为 　 　 　 　 . 三、解答题 ９. 当 ｘ 取什么值时ꎬｘ２ ＋ １ ｘ２ 取得最小值? 最小值 是多少? １０. 已知 ｘꎬｙ 都是正数ꎬ且 ｘ≠ｙꎬ求证:(１) ｘｙ ＋ ｙ ｘ > ２ꎻ (２) ２ｘｙｘ ＋ ｙ < ｘｙ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — ２５８ — {#{QQABDYSAggiIAAJAAQhCUwVwCgGQkBGAAAoOwBAIoAIBQRFABAA=}#} Ｂ 组􀅰素养提升 一、选择题 １. 若正数 ｘꎬｙ 满足 ｘ ＋ ３ｙ ＝ ５ｘｙꎬ当 ３ｘ ＋ ４ｙ 取得 最小值时ꎬｘ ＋ ２ｙ 的值为 ( Ｂ ) Ａ. ２４５ Ｂ. ２ Ｃ. ２８ ５ Ｄ. ５ ２. 若正数 ｘꎬｙ 满足 ｘ２ ＋ ３ｘｙ － １ ＝ ０ꎬ则 ｘ ＋ ｙ 的最 小值是 ( Ｂ ) Ａ. ２３ Ｂ. ２ ２ ３ Ｃ. ３３ Ｄ. ２ ３ ３ ３. (多选题)设 ａꎬｂ∈Ｒꎬ且 ａ≠ｂꎬａ ＋ ｂ ＝ ２ꎬ则必 有 ( 　 ) Ａ. ａｂ < １ Ｂ. １ < ａ ２ ＋ ｂ２ ２ Ｃ. ａｂ < ａ ２ ＋ ｂ２ ２ Ｄ. ａ２ ＋ ｂ２ ２ < ａｂ ４. (多选题)下列结论正确的是 ( 　 ) Ａ. 当 ｘ > ０ 时ꎬ ｘ ＋ １ ｘ ≥２ Ｂ. 当 ｘ > ２ 时ꎬｘ ＋ １ｘ 的最小值是 ２ Ｃ. 当 ｘ < ５４ 时ꎬｙ ＝ ４ｘ － ２ ＋ １ ４ｘ － ５的最小值为 ５ Ｄ. 当 ｘ > ０ꎬｙ > ０ 时ꎬ ｘｙ ＋ ｙ ｘ ≥２ 二、填空题 ５. 当 ｘ > ０ 时ꎬ若 ２ｘ ＋ ａｘ (ａ > ０)在 ｘ ＝ ３ 时取得 最小值ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 　 . ６. 已知３ａ ＋２ｂ ＝１ꎬａ >０ꎬｂ >０ꎬ则 ２ａ ＋ １ ｂ 的最小值 为 　 　 　 　 . 三、解答题 ７. 设 ａꎬｂꎬｃ 均为正数ꎬ且 ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １. 证明: (１)ａｂ ＋ ｂｃ ＋ ａｃ≤１３ ꎻ (２)ａ ２ ｂ ＋ ｂ２ ｃ ＋ ｃ２ ａ≥１. ８. 已知实数 ａꎬｂ 满足 ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬａ ＋ ｂ ＝ ２ꎬ且 ａ２ ａ ＋ １ ＋ ｂ２ ｂ ＋ １≥ｍ 恒成立ꎬ求实数 ｍ 的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋