第6章 4.1 样本的数字特征(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

４. 如图所示是总体的一个样本频率分布直方 图ꎬ且在[１５ꎬ１８)内的频数为 ８. (１)求样本在[１５ꎬ１８)内的频率ꎻ (２)求样本容量ꎻ (３)若在[１２ꎬ１５)内的小矩形面积为 ０. ０６ꎬ求 在[１８ꎬ３３]内的频数. 请同学们认真完成练案[４０] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 § ４　 用样本估计总体的数字特征 ４. １　 样本的数字特征 素养目标 １. 结合实例ꎬ能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)ꎬ理解集中趋势参数 的统计含义. ２. 结合实例ꎬ能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)ꎬ理解离散程度参数的 统计含义. 学法解读 １. 会求样本的众数、中位数、平均数、极差、方差和标准差. (数学运算) ２. 理解样本数字特征的意义和作用ꎬ会用样本的数字特征估计总体的数字特征. (数学抽象、 数据分析) ３. 能用样本的数字特征估计总体的数字特征ꎬ作出合理解释和决策. (数学建模) 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 知 识 知识点 １ 平均数 　 　 １. 定义:如果给定的一组数是 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎꎬ 则这组数的平均数为 􀭰ｘ ＝ １ｎ (ｘ１ ＋ ｘ２ ＋􀆺 ＋ ｘｎ) . 这一公式在数学中常简记为 􀭰ｘ ＝ １ｎ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ . ２. 求和符号∑具有的性质 (１)∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｘｉ ＋ ｙｉ) ＝∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ ＋∑ ｎ ｉ ＝ １ ｙｉ . (２)∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｋｘｉ) ＝ ｋ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ . (３)∑ ｎ ｉ ＝ １ ｔ ＝ ｎｔ. ３. 如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的平均数为􀭰ｘꎬ且 ａꎬｂ 为常 数ꎬ则 ａｘ１ ＋ｂꎬａｘ２ ＋ｂꎬ􀆺ꎬａｘｎ ＋ｂ的平均数是 ａ􀭰ｘ＋ｂ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 161 {#{QQABJY6EggAIAAIAAQgCQwUQCAGQkAAACAoOBAAEoAIBABFABAA=}#} 　 　 思考 １:(１) ｘ５ ＋ ｘ６ ＋ 􀆺 ＋ ｘ１５如何用符号∑ 表示? (２)如何证明∑ ｎ ｉ ＝ １ (ｋｘｉ) ＝ ｋ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ? 知识点 ２ 中位数、众数、极差 　 　 １. 如果一组数有奇数个数ꎬ并按照从小到 大排列后为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘ２ｎ ＋１ꎬ则称 ｘｎ ＋１为这组数 的中位数. ２. 如果一组数有偶数个数ꎬ且按照从小到 大排列后为 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘ２ｎꎬ则称 ｘｎ ＋ ｘｎ ＋１ ２ 为这组 数的中位数. 一组数的极差指的是这组数的最大值减去 最小值所得的差. 一组数据中ꎬ某个数据出现的 次数称为这个数据的频数ꎬ出现次数最多的数 据称为这组数据的众数. 知识点 ３ 方差与标准差 　 　 (１)如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的平均数为 􀭰ｘꎬ则方 差 ｓ２ ＝ １ｎ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ( ｘ ｉ － 􀭰ｘ) ２ꎬ方差的算术平方根称为 标准差. (２)如果 ｘ１ꎬｘ２ꎬ􀆺ꎬｘｎ 的方差为 ｓ２ꎬ且 ａꎬｂ 为常数ꎬ则 ａｘ１ ＋ ｂꎬａｘ２ ＋ ｂꎬ􀆺􀆺ꎬａｘｎ ＋ ｂ 的方差 是 ａ２ ｓ２ . 　 　 思考 ２:(１)方差和标准差的取值范围是什 么? 方差、标准差为 ０ 的含义是什么? (２)方差和标准差是如何反映一组数据的 离散程度的? 基 础 自 测 １. 某校举行歌咏比赛ꎬ规定各个评委评分的平 均数作为该班节目的实际得分. 对于某班的 演出ꎬ评委的评分分别为:９. ７０ꎬ９. ６８ꎬ９. ７５ꎬ ９. ７２ꎬ９. ６５ꎬ则这个班节目的实际得分是 ( Ｂ ) Ａ. ９. ６６ Ｂ. ９. ７０ Ｃ. ９. ６５ Ｄ. ９. ６７ ２. 某厂 １０ 名工人在一小时内生产零件的个数 分别是 １５ꎬ１７ꎬ１４ꎬ１０ꎬ１５ꎬ１７ꎬ１７ꎬ１６ꎬ１４ꎬ１２ꎬ设 该组数据的平均数为 ａꎬ中位数为 ｂꎬ众数为 ｃꎬ则有 ( Ｄ ) Ａ. ａ > ｂ > ｃ Ｂ. ｂ > ｃ > ａ Ｃ. ｃ > ａ > ｂ Ｄ. ｃ > ｂ > ａ ３. 某校甲、乙两个班级各有 ５ 名编号为 １ꎬ２ꎬ３ꎬ ４ꎬ５ 的学生进行投篮练习ꎬ每人投 １０ 次ꎬ投中 的次数如表: 学生 １ 号 ２ 号 ３ 号 ４ 号 ５ 号 甲班 ６ ７ ７ ８ ７ 乙班 ６ ７ ６ ７ ９ 若以上两组数据的方差中较小的一个为 ｓ２ꎬ 则 ｓ２ 等于 ( Ａ ) Ａ.