第5章 函数应用 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

３. 某商店进货单价为 ４５ 元ꎬ若按 ５０ 元一个销售ꎬ 能卖出 ５０ 个ꎻ若销售单价每涨 １ 元ꎬ其销售量 就减少 ２ 个ꎬ为了获得最大利润ꎬ此商品的最 佳售价应为每个 　 　 　 　 . ４. 南博汽车城销售某种型号的汽车ꎬ进货单价 为 ２５ 万元ꎬ市场调查表明:当销售单价为 ２９ 万元时ꎬ平均每周能售出 ８ 辆ꎬ而当销售单价 每降低 ０. ５ 万元时ꎬ平均每周能多售出 ４ 辆. 如果每辆汽车降价 ｘ 万元ꎬ每辆汽车的销售 利润为 ｙ 万元(每辆车的销售利润 ＝ 销售单 价 －进货单价) . (１)求 ｙ 与 ｘ 之间的函数关系式ꎬ并在保证商 家不亏本的前提下ꎬ写出 ｘ 的取值范围ꎻ (２)假设这种汽车平均每周的销售利润为 ｚ 万元ꎬ试写出 ｚ 与 ｘ 之间的函数关系式ꎻ (３)当每辆汽车的销售单价为多少万元时ꎬ平 均每周的销售利润最大? 最大利润是多少? 请同学们认真完成练案[３６] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末梳理 知识结构􀅰理脉络 函数应用 数学应用:函数与方程 ↓ 利用函数性质判定 方程解的存在性 ↓ 零点的意义: 函数 ｆ(ｘ) 的 零点 ⇔ 函数 ｆ(ｘ) 的 图 象 与 ｘ 轴交点的 横坐标 ⇔ 方 程 ｆ(ｘ) ＝ ０的 实数解 ↓ 零 点 的 定 义: 函 数 ｆ(ｘ) 的 图 象 与 ｘ 轴 交 点 的 横 坐标 ↓ 零点的判定:若函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 在闭区间[ａꎬ ｂ] 上的图象是一条连 续的曲线ꎬ 并且在区 间端点的函数值一正 一负ꎬ即 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) < ０ꎬ 则在开区间 (ａꎬｂ) 内ꎬ函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 至少 有一个零点ꎬ 即在区 间(ａꎬｂ) 内相应的方 程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 至少有一 个解 ↓ 利用二分法求 方程的近似解 ↓ ↓ 解决具体问题 ↓ 实际应用:实际问题中的函数模型 ↓ 用已知函数模 型解决问题 ↓ 常见的函数 模型: 一次 函数、 二次 函数、 指数 型函数、 对 数 型 函 数、 幂函数、 分 段函数 ↓ 建立实际问题 的函数模型 ↓ 用函数表示实际问题 ↓ ↓ 143 {#{QQABLY4EogggAAAAAQhCQwFQCAKQkAAACAoOAAAIsAIBABFABAA=}#} 要点梳理􀅰晰精华 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１.函数的零点存在定理的理解 (１)利用零点存在定理判断函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在 区间(ａꎬｂ)内有零点的前提条件有两个:①ｆ(ｘ) 在区间[ａꎬｂ]上的图象是一条连续曲线ꎻ②ｆ(ａ) 􀅰 ｆ(ｂ) < ０. 这两个条件缺一不可. 例如函数 ｆ(ｘ) ＝ １ｘ ꎬ易知 ｆ( － １)􀅰ｆ(１) ＝ － １ × １ < ０ꎬ但 ｆ(ｘ)在( － １ꎬ１)内没有零点. (２)零点存在定理只能判断出零点是否存在ꎬ 而不能判断出零点的个数. 如图所示ꎬ虽然都有 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) <０ꎬ但图(１)中函数在区间(ａꎬｂ)内有 ４ 个零点ꎬ图(２)中函数在区间(ａꎬｂ)内仅有 １ 个零 点ꎬ图(３)中函数在区间(ａꎬｂ)内有２ 个零点. (３)零点存在定理是不可逆的ꎬ对于[ａꎬｂ]上 的连续曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬ由 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) <０ 可以推出 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)内存在零点.但是ꎬ已知 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)内存在零点ꎬ不一定推 出 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) <０. 如图(３)ꎬ虽然在区间(ａꎬｂ)内 函数有零点ꎬ但 ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ) >０. (４)如果函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上的图象是连 续曲线ꎬ且ｆ(ａ)􀅰ｆ(ｂ)≥０ꎬ那么函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在(ａꎬ ｂ)内可能有零点ꎬ也可能没有零点ꎬ例如图(１)中 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内有 ４ 个零点ꎬ图(２)中函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)内没有零点. ２.二分法概念理解 (１)一般地ꎬ我们把 ｘ ＝ ａ ＋ ｂ２ 称为区间[ａꎬｂ] 的中点.在这里ꎬ区间的中点是个实数ꎬ而不是点. (２)用二分法求函数零点近似值的方法仅 适用于函数的变号零点ꎬ对函数的不变号零点 不适用. 如求函数ｆ(ｘ) ＝ (ｘ － １) ２ 的零点近似值 就不能用二分法. (３)二分法采用逐步逼近的思想ꎬ使函数零 点所在的范围逐步缩小ꎬ也就是逐渐逼近函数 的零点. 典例 １ 用二分法研究函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ３ － ２ｘ２ ＋ ３ｘ － ６ 的零点ꎬ选取初始区间( － ２ꎬ４)ꎬ则 下一个有零点的区