第5章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

第五章　 函数应用 § １　 方程解的存在性及方程的近似解 １. １　 利用函数性质判定方程解的存在性 素养目标 １. 结合学过的函数图象ꎬ了解函数的零点与方程解的关系. ２. 结合具体连续函数及其图象的特点ꎬ了解函数零点存在定理. 学法解读 １. 理解函数的零点、方程的根与图象与 ｘ 轴交点三者之间的关系. (数学抽象) ２. 会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. (直观想象) ３. 能借助函数单调性及图象判断零点个数. (逻辑推理) 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 知 识 知识点 １ 函数的零点 　 　 (１)零点的概念:如果函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在实数 ａ 处的函数值等于 ０　 ꎬ即 　 　 　 　 ꎬ则 ａ 为函 数ｆ(ｘ)的零点. (２)零点的意义 思考 １:(１)函数的零点是点吗? (２)所有的函数都有零点吗? 知识点 ２ 零点存在定理 　 　 (１)零点存在定理:若函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在闭区 间[ａꎬｂ]上的图象是一条 　 　 　 　 的曲线ꎬ并且 在区间端点的函数值 　 　 　 　 ꎬ即 　 　 　 　 　 ꎬ 则在开区间(ａꎬｂ)内ꎬ函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)至少有一个 零点ꎬ即在区间(ａꎬｂ)内相应的方程 　 　 　 　 至 少有一个解. (２)本质:函数在区间(ａꎬｂ)内存在零点即 方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 有解的理论依据. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 133 {#{QQABLYYAggCgAgAAAQgCQwFgCgKQkBEAAKoORBAAsAIBARNABAA=}#} (３)应用:判断函数零点(方程的解)所在 区间或求规定区间内函数零点(方程的解)的个 数等问题. 思考 ２:函数零点存在定理要求具备哪些 条件? 基 础 自 测 １. 函数 ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ 的零点是 ( Ａ ) Ａ. ０ꎬ２ Ｂ. － ２ꎬ０ Ｃ. １ꎬ０ Ｄ. － １ꎬ０ ２. 下列各图象表示的函数中没有零点的是( Ｄ ) ３.若函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ａｘ ＋ ｂ 的零点是 ２ 和 － ４ꎬ则 ａ ＝ 　 　 　 ꎬｂ ＝ 　 　 　 　 . ４. 求函数 ｙ ＝ (ａｘ － １)(ｘ ＋ ２)的零点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题 型 探 究 题型一 求函数的零点 　 　 典例 １ 求下列函数的零点: (１)ｙ ＝ ｘ － １ꎻ (２)ｙ ＝ ｘ２ － ｘ － ６. [分析] 　 把每一个函数解析式因式分解ꎬ 化为几个因式之积的形式ꎬ最好为一次因式ꎬ然 后令每一个因式等于零再解. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 函数零点的求法: (１)代数法:求方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的实数根. (２)几何法:对于不能用求根公式的方程 ｆ(ｘ) ＝０ꎬ可以将它与函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象联系起 来ꎬ图象与 ｘ 轴的交点横坐标即为函数的零点. 　 　 对点训练❶ 判断下列函数是否存在零 点ꎬ如果存在ꎬ请求出. (１) ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ ３ｘ ꎻ(２) ｆ(ｘ) ＝ ｘ ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ꎻ (３) ｆ(ｘ) ＝ ２ｘ － ３ꎻ(４) ｆ(ｘ) ＝ １ － ｌｏｇ３ｘ. 题型二 零点个数的判断 　 　 典例 ２ 判断下列函数的零点个数: (１) ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ － ７ｘ ＋ １２ꎻ (２) ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ － １ｘ ꎻ (３) ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ １ꎬｘ≥０ꎬ ｘ － １ꎬｘ < ０.{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋