第4章 对数运算与对数函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 当 ｘ 越来越大时ꎬ下列函数中ꎬ增长速度最快 的应该是 ( 　 ) Ａ. ｙ ＝ １００ｘ Ｂ. ｙ ＝ ｌｏｇ１００ｘ Ｃ. ｙ ＝ ｘ１００ Ｄ. ｙ ＝ １００ｘ ２. 若 － １ < ｘ < ０ꎬ则不等式中成立的是 ( 　 ) Ａ. ５ － ｘ < ５ｘ < ０. ５ｘ Ｂ. ５ｘ < ０. ５ｘ < ５ － ｘ Ｃ. ５ｘ < ５ － ｘ < ０. ５ｘ Ｄ. ０. ５ｘ < ５ － ｘ < ５ｘ ３. 专家预测ꎬ在我国大西北某地区荒漠化土地 面积每年平均比上年增长 １０. ４％ ꎬ经过 ｘ 年 可能增长到原来的 ｙ 倍ꎬ则函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图 象大致为 ( Ｄ ) ４. 某工厂 ８ 年来某种产品的总产量 Ｃ 与时间 ｔ (年)的函数关系如图ꎬ给出下列四种说法: ①前三年中产量增长的速度越来越快ꎻ ②前三年中产量增长的速度越来越慢ꎻ ③第三年后这种产品停止生产ꎻ ④第三年后产量保持不变. 其中说法正确的是 　 　 　 　 . 请同学们认真完成练案[３３] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末梳理 知识结构􀅰理脉络 对数运 算与对 数函数 对数 及其 运算 对数的运算性质:若 ａ > ０ꎬ且 ａ ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ꎬｂ ∈ Ｒꎬ 则 (１)ｌｏｇａ(Ｍ􀅰Ｎ) ＝ ｌｏｇａＭ ＋ ｌｏｇａＮꎻ (２)ｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ ｌｏｇａＭ － ｌｏｇａＮꎻ (３)ｌｏｇａＭ ｂ ＝ ｂ ｌｏｇａＭ 对数的性质:ｌｏｇａａ ＝ １ꎬｌｏｇａ１ ＝ ０ꎬ ａｌｏｇａＮ ＝ Ｎ(ａ > ０ꎬａ ≠１ꎬＮ > ０) 定义:如果 ａｂ ＝ Ｎꎬ那么 ｂ ＝ ｌｏｇａＮ(ａ > ０ꎬａ ≠１ꎬＮ > ０) 换底公式:ｌｏｇａｂ ＝ ｌｏｇｃｂ ｌｏｇｃａ (ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬｃ > ０ꎬ且 ａ ≠１ꎬｃ ≠１) 对数函数:ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > ０ꎬ且 ａ ≠１) 图象 性质 反 函 数 定义 互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ ＝ ｘ 对称 指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ꎬ且 ａ ≠１) 与对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ(ａ > ０ꎬ且 ａ ≠１) 互为反函数 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 128 {#{QQABLYYEoggIAAJAAAgCQwVACgKQkBAACKoOwBAEsAIBABNABAA=}#} 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １.对数重要公式与运算性质 (１)对数的基本性质(ａ > ０ 且 ａ≠１ꎬＮ > ０) ①ｌｏｇａ１ ＝ ０ꎻｌｏｇａａ ＝ １ꎻ ②ａｌｏｇａＮ ＝ ＮꎻｌｏｇａａＮ ＝ Ｎ. (２)对数的运算法则 如果 ａ > ０ 且 ａ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ꎬ则 ①ｌｏｇａ(ＭＮ) ＝ ｌｏｇａＭ ＋ ｌｏｇａＮꎻ ②ｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ ｌｏｇａＭ － ｌｏｇａＮꎻ ③ｌｏｇａＭｎ ＝ ｎｌｏｇａＭ(ｎ∈Ｒ) . (３)对数的重要公式 ①换底公式:ｌｏｇａＮ ＝ ｌｏｇｂＮ ｌｏｇｂａ (ａꎬｂ 均大于 ０ 且 不等于 １ꎬＮ > ０)ꎻ ②ｌｏｇａｍｂｎ ＝ ｎ ｍ ｌｏｇａｂ(ａꎬｂ 均大于 ０ 且不等于 １ꎬｍ≠０ꎬｎ∈Ｒ)ꎻ ③ｌｏｇａｂ􀅰ｌｏｇｂａ ＝ １(ａꎬｂ 均大于 ０ 且不等于 １)ꎻ ④ｌｏｇａｂ􀅰ｌｏｇｂｃ􀅰ｌｏｇｃｄ ＝ ｌｏｇａｄ(ａꎬｂꎬｃ 均大于 ０ 且不等于 １ꎬｄ 大于 ０) . ２.指数、对数函数的图象与性质 指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１) ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 定义域 Ｒ 值域 (０ꎬ ＋ ∞ ) 性质 过定点(０ꎬ１) 当 ｘ > ０ 时ꎬｙ > １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬｙ > １ 在 Ｒ 上是单调增函数 在 Ｒ 上是单调减函数 底数 大小 的比 较　 ａ > ｂ > １ > ｃ > ｄ 对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 定义域 (０ꎬ ＋ ∞ ) 值域 Ｒ 性质 过定点(１ꎬ０) 当 ｘ > １ 时ꎬｙ > ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ < ０ 当 ｘ > １ 时ꎬｙ < ０ꎻ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬｙ > ０ 是(０ꎬ ＋ ∞ )上的增函数 是(０ꎬ ＋ ∞ )上的减函数 底数 大小 的比 较　 ａ > ｂ > １ > ｃ > ｄ 　 　 注:指数函数