第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

§ ４　 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 ∗ § ５　 信息技术支持的函数研究(略) 素养目标 １. 能从教材实例中归纳出指数函数与一元一次函数、对数函数与一元一次函数增长的差异. (逻辑推理) ２. 能从教材实例中理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. (数学抽象) 学法解读 　 　 函数模型是解决实际问题的重要数学模型ꎬ应用函数模型解决实际问题的重要特征是将 实际问题中的变量关系用函数表示出来ꎬ然后对函数进行研究得出相关数学结论ꎬ并依此解 决实际问题. 必备知识􀅰探新知 基 础 知 识 知识点 三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 幂函数 解析式 ｙ ＝ ａｘ(ａ > １) ｙ ＝ ｌｏｇａｘ 　 　 　 　 　 ｙ ＝ ｘｃ(ｃ > ０) 单调性 在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调 　 　 　 　 　 图象(随 ｘ 的增大) 逐渐与 ｙ 轴平行 逐渐与 ｘ 轴平行 逐渐上升 增长速度(随 ｘ 的增大) ｙ 的增长速度 越来越 　 　 　 ｙ 的增长速度 越来越 　 　 　 ｙ 的增长速度 　 　 　 　 增长关系 存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬａｘ > ｘｃ > ｌｏｇａｘ 　 　 思考:存在一个 ｘ０ꎬ当 ｘ > ｘ０ 时ꎬ为什么 ａｘ > ｘｎ > ｌｏｇａｘ(ａ > １ꎬｎ > ０)一定成立? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 自 测 １. 下列说法正确的个数是 ( Ｃ ) (１)函数 ｙ ＝ ｌｏｇ １ ３ ｘ 的衰减速度越来越慢. (２) 增长速度不变的函数模型是一次函数 模型. (３)若 ａ > １ꎬｎ > ０ꎬ对于任意 ｘ０ ∈Ｒꎬ一定有 ａｘ０ > ｘｎ０ . Ａ. ０ Ｂ. １ Ｃ. ２ Ｄ. ３ ２. 当 ｘ 越来越大时ꎬ下列函数中ꎬ增长速度最快 的是 ( Ｄ ) Ａ. ｙ ＝ ５ｘ Ｂ. ｙ ＝ ｌｏｇ５ｘ Ｃ. ｙ ＝ ｘ５ Ｄ. ｙ ＝ ５ｘ ３. 函数 ｙ１ ＝ ２ｘ 与 ｙ２ ＝ ｘ２ꎬ当 ｘ > ０ 时ꎬ图象的交 点个数是 ( Ｃ ) Ａ. ０ Ｂ. １ Ｃ. ２ Ｄ. ３ ４. 小明骑车上学ꎬ开始时匀速行驶ꎬ途中因交通 堵塞停留了一段时间后ꎬ为了赶时间加快速 度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 ( Ｃ ) ５. 函数 ｙ ＝ ｘ２ 与函数 ｙ ＝ ｌｎ ｘ 在区间(０ꎬ ＋ ∞ ) 上增长较快的是 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 125 {#{QQABJYYAggAoABIAAQhCQwEwCgKQkBCAACoOgAAIoAIBwBNABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 函数模型的增长差异 　 　 典例 １ 四个变量 ｙ１ꎬｙ２ꎬｙ３ꎬｙ４ 随变量 ｘ 变化的数据如下表: ｘ １ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ｙ１ ２ ２６ １０１ ２２６ ４０１ ６２６ ９０１ ｙ２ ２ ３２ １ ０２４ ３２ ７６８ １. ０５ × １０６ ３. ３６ × １０７ １. ０７ × １０９ ｙ３ ２ １０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ ｙ４ ２ ４. ３２２ ５. ３２２ ５. ９０７ ６. ３２２ ６. ６４４ ６. ９０７ 　 　 关于 ｘ 呈指数函数变化的变量是 　 　 　 . [分析] 　 从表格观察函数值 ｙ１ꎬｙ２ꎬｙ３ꎬｙ４ 的 增加值ꎬ哪个变量的增加值最大ꎬ则该变量关于 ｘ 呈指数函数变化. [归纳提升] 　 三种函数模型的增长规律: (１)对于幂函数 ｙ ＝ ｘｎꎬ当 ｘ > ０ꎬｎ > ０ 时ꎬ ｙ ＝ ｘｎ才是增函数ꎬ当 ｎ 越大时ꎬ增长速度越快. (２)指数函数与对数函数的递增前提是 ａ > １ꎬ又它们的图象关于 ｙ ＝ ｘ 对称ꎬ从而可知ꎬ 当 ａ 越大ꎬｙ ＝ ａｘ 增长越快ꎻ当 ａ 越小ꎬｙ ＝ ｌｏｇａｘ 增长越快ꎬ一般来说ꎬａｘ > ｌｏｇａｘ(ｘ > ０ꎬａ > １) . (３)指数函数与幂函数ꎬ当 ｘ > ０ꎬｎ > ０ꎬａ > １ 时ꎬ可能开始时有 ｘｎ > ａｘꎬ但因指数函数是爆炸型 函数ꎬ当 ｘ 大于某一个确定值 ｘ０ 后ꎬ就一定有 ａｘ > ｘｎ. 对点训练❶ 下面是 ｆ(ｘ)随 ｘ 的增大而 得到的函数值表: ｘ ２ ｘ ｘ２ ２ｘ ＋ ７ ｌｏｇ２ｘ １ ２ １ ９ ０ ２ ４ ４ １１ １ ３ ８ ９ １３ １. ５８５