第4章 2 对数的运算(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

§ ２　 对数的运算 素养目标 １. 结合指数的运算性质推导对数运算性质. (数学运算) ２. 结合教材实例了解换底公式及其推导. (数学运算) ３. 能利用对数的运算性质、换底公式进行简单的化简求值. (数学运算) 学法解读 　 　 对数的运算性质是对数式化简、计算的工具ꎬ灵活运用它们能够简化解题过程ꎬ提高做题 速度. 必备知识􀅰探新知 基 础 知 识 知识点 １ 对数的运算性质 条件 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎬＭ > ０ꎬＮ > ０ 性质 ｌｏｇａ(ＭＮ) ＝ 　 　 　 　 　 ｌｏｇａ Ｍ Ｎ ＝ 　 　 　 　 　 ｌｏｇａＭｎ ＝ 　 　 　 　 (ｎ∈Ｒ) 　 　 思考 １:在积的对数运算性质中ꎬ三项的乘 积式ｌｏｇａ(ＭＮＱ)是否适用? 你能得到一个怎样 的结论? 知识点 ２ 换底公式 　 　 若 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ꎻｂ > ０ꎻｃ > ０ꎬ且 ｃ≠１ꎬ则有 ｌｏｇａｂ ＝ 　 　 　 　 　 . 思考 ２:(１)对数的换底公式用常用对数、 自然对数表示什么形式? (２)你能用换底公式和对数的运算性质推 导出结论ｌｏｇＮｎＭｍ ＝ ｍ ｎ ｌｏｇＮＭ 吗? 基 础 自 测 １. (多选题)若 ａ > ０ꎬａ≠１ꎬｘ > ０ꎬｙ > ０ꎬｘ > ｙꎬ下 列式子中错误的是 ( 　 ) Ａ. ｌｏｇａｘ􀅰ｌｏｇａｙ ＝ ｌｏｇａ(ｘ ＋ ｙ)ꎻ Ｂ. ｌｏｇａｘ － ｌｏｇａｙ ＝ ｌｏｇａ(ｘ － ｙ)ꎻ Ｃ. ｌｏｇａ ｘ ｙ ＝ ｌｏｇａｘ ÷ ｌｏｇａｙꎻ Ｄ. ｌｏｇａ(ｘｙ) ＝ ｌｏｇａｘ􀅰ｌｏｇａｙ. ２. ｌｏｇ６２ ＋ ｌｏｇ６３ 等于 ( Ａ ) Ａ. １　 　 　 　 Ｂ. ２　 　 　 　 Ｃ. ５　 　 　 　 Ｄ. ６ ３. 计算:ｌｏｇ２５􀅰ｌｏｇ３２􀅰ｌｏｇ５９ ＝ 　 　 　 　 . ４. 求下列各式的值: (１)ｌｏｇ３(２７ × ９２)ꎻ(２)ｌｇ ５ ＋ ｌｇ ２ꎻ (３)ｌｎ ３ ＋ ｌｎ １３ ꎻ(４)ｌｏｇ３５ － ｌｏｇ３１５. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 113 {#{QQABJYaEggCoAAAAAQgCQwUACgGQkAAAAKoOgAAAoAIBgANABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 利用对数的运算性质化简求值 　 　 典例 １ 计算下列各式的值: (１)ｌｏｇ５ ３ ６２５ꎻ(２)ｌｏｇ２(３２ × ４２)ꎻ (３)ｌｇ ５２ ＋ ２３ ｌｇ ８ ＋ ｌｇ ５􀅰ｌｇ ２０ ＋ (ｌｇ ２) ２ . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 利用对数运算性质化简求值 (１)“收”:将同底的两个对数的和(差)合 为积(商)的对数ꎬ即公式逆用. (２)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两 个对数的和(差)ꎬ即公式的正用. (３)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值ꎬ如 利用 ｌｇ ２ ＋ ｌｇ ５ ＝ １ꎬ进行计算或化简. 　 　 对点训练❶ 计算下列各式的值: (１)(２０２２􀅰湖南衡阳高一期末测试)ｌｏｇ３ ２７ ＋ ｌｇ ２５ － ｌｇ ４ꎻ (２) (２０２２􀅰江苏、苏州市高一期中测试) (ｌｇ ５) ２ ＋ ｌｇ ２ × ｌｇ ５０. 题型二 对数的运算性质的应用 　 　 典例 ２ 用 ｌｏｇａｘꎬｌｏｇａｙꎬｌｏｇａｚ 表示: (１)ｌｏｇａ(ｘｙ２)ꎻ(２)ｌｏｇａ(ｘ ｙ)ꎻ (３)ｌｏｇａ ３ ｘ ｙｚ２ . 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�