4.2 对数的运算-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

y=20 当0<a<1时，函数y=1a-1I+1的图象如图2所示 图可知1<2a<2,解得号<a<1. 综上可知，a的取值范围为（分， 例4：令=（分广则y=++1=(+2)+圣 112 因为1>0y=（:+2广+子在(0，+如)上是增函数 所以y>1,即函数的值域为(1，+∞). 第四章对数运算与对数函数 §1对数的概念 必备知识探新知 知识点1(2)lg N In N(3)b=logW 知识点2(2)0(3)1 关键能力攻重难 4-x>0 例1：(1)2<x<4且x≠3由题意可知x-2>0,解得2 Lx-2≠1， 且x≠3，所以2<x<4,且x≠3. (2)①由54=625，得1og625=4. ②由l1og216=4,得2=16. ③由10-2=0.01，得lg0.01=-2. ④油log5125=6,得(5)6=125. 对点训练1：(1)1og416=2.(2)1g100=2. (3)g2=7(4()’=32 例2：(1)由log(1ogx)=0得log2x=1,∴x=2. (2)log3(logx)=1,log7x=3=3,∴.x=73=343. (3)1g (In x)=1,In x=10,..x=elo. (4)1g (In x)=0,In x=1,..x=e. 对点训练2：(1)：=g时16（分） =16,即2=24 .-x=4,即x=-4 1 (2):lgx=-3x=8方= 11 2 (3):log(万-) 1 =X, W/3+22 .(2-1)= 1 √3+22√(2+1)22+1 =2-1,∴.x=1. 例3：1)原式=7乙号 7 (2)原式=29-g5=22_9 F2g5=5 (3)原式=(al)lg,5=bos6=c 对点训练3：(1)方法一：设5=x,则log4=logx,.x=4. 方法二：利用对数恒等式得：x=4 ,则由 (2)3=43-2=3×32=4×g=号 (3)2o5=5,.24+25=24×2g25=16×5=80. 课堂检测固双基 1.C①正确：②底数小于0的指数式不可以化成对数式：③④ 正确，故选C. :2.D因为1ogx=3,所以x=33=27.故选D. 3.A若a24=b(a>0且a≠1)，则2024=log6.故选A 4.3由题意得l0gx=1,∴.x=3. (2:8时=2万lg(22)=2 (3)eg16=-2() =16. (4)lhx=3e宁=x 1 §2对数的运算 必备知识 探新知 <x<4 知识点1logM+log,Nlog,M-log.N nlog,M 知识点2 log.b log a 关键能力攻重难 例1：1)原式=分%65=号g5=号 3 (2)原式=1og232+log42=5+4=9. (3)原武=-2g5+子×3g2+g5x(1+g2)+g2 =2(lg5+1g2)+1g5+lg5×lg2+(lg2)2 =2+1-lg2+lg2×(1-lg2)+(1g2)2=3. 对点训练1：(1)原式=1og3登+1g 5 =1 (2)原式=(lg5)2+lg2×lg(5×10) =(1g5)2+lg2×(1+lg5) =(1g5)2+lg2+lg2lg5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg5+lg2=lg10=1. 例2：(1)log.(xy2）=logx+logy2=logx+2logy (2)log(x)=log.x+loglog.x+log.y. -303 =写（lg*-gy-2g 对点训练2：(1)og(x3y)=logx3+logy =3logx+5logay. 2e是-lng-lg. =log-(log.y +logz) og.-log.log.. s石⅓日s司 1 例3：(1)原式=1g2·g3g5 =-21g5)·（-31g2）（-21g3）=-12 lg2·lg3·lg5 (2)由题意得g4.乌8.gm=gm。1 lg 3 1g 4 Ig 8 1g 32 gm=7g3,即gm=lg3立， .m=3 对点训练3：(1)l1g9·1lgn32=gg.g32-名3.g lg 8 lg 27 1g 23 1g 2lg3.51g210 3lg231g39 (2)1g,27=1o827_log323log,33 0g,9-1og32-2loga3=2 1 1 (3)1g25·log32·lo83 =l0g25-3.log25·log3 =-31og25·(-5log32)·(-1og53) =-15.g5.g2.g3 lg 2 lg 3 lg 5 =-15. 易错警示 例4：1og2(x+1)-log(x+4)=1, log (+1)=1. x+4 x+1>0, x+4>0, 解得x=5或x=-3(舍去) (x+1)2 x+4=4, .方程log2(x+1)-log(x+4)=1的解为x=5. 课堂检测固双基 1.C原式=log102+log0.25=log(100×0.25)=log25 故选C. 2.C logz a=logab logoc =k, 则a=2,b=3,c=6,所以c=ab.故选C. 37原式=2e,12-2g2 =2g号=2g.6=7 121 1 4.(1)原式=2g5+2g2+2+3=2(lg5+lg2)+5=7. a)原式-(e3+e2+e2到 =(g3+号g3j(2og2+21g2+log,2 =g3×e2- §3对数函数 3.1 对数函数的概念 必备知识探新知 知识点11.xyy=logx(a>0且a≠1) 关键能力攻重难 例1：B根据对数函数的定义进行判断.由于①中自变量出现 在底数上， ∴.①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0 且a≠1， ∴.②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x+2),(x+1), ∴.⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2， ·.⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义. 29 对点训练1：①中logx的系数为-1，∴①不是对数函数；②中的 真数为，②不是对数函数：④中的真数是(x+1),.④不 是对数函数；.只有③是对数函数 例2：(1)要使函数有意义，需 2-1>0.且2x-1>分且x41, 2-x>0, 【x<2. 2<x<2,且x≠1. 故函数的定义域为{片<<2,且学 (2)要使函数有意义，需使2-ln(3-x)≥0，即 3-x≤e2, 3-x>0. 解得3-e2≤x<3,故函数的定义域为{x13-e2≤x<3}. 对点训练2：(1)C使函数有意义应满足1og2x-1>0, 即l0g2x>1,.x>2,故选C. 2(0,10) 由y=fx)定义域为(-1,1)知，-1<lgx<1, 解得0<x<10, 故=g)定义域为010) 例3：(1)由y=10得x=lgy,所以其反函数为y=lgx =2. (2)由y=(号)得x=g号y,所以其反函数为y=g号x (3)由=g得x=(兮】 ,所以其板函数为y=(兮) (4)由y=lgx,得x=2',所以其反函数为y=2 对点训练3：(1)B 函数y=d的反函数为y=logx,将点（√a, a)代入得1g后=a,所以a=7,故选B (2)y=9*由y=logx得x=9',所以其反函数为y=9 课堂检测固双基 ;1.DA、B、C都不符合对数函数的定义，故选D. 304096 §己对数的运算 课标要求 核心素养 1.结合指数的运算性质推导对数的运算性质 对数的运算性质是对数式化简、计算 2.结合教材实例了解换底公式及其推导， 的工具，灵活运用它们能够简化解题 3.能利用对数的运算性质、换底公式进行简单的化简 过程，提高做题速度 求值 必备知识 探新知 知识点1对数的运算性质 知识点2换底公式 条件 a>0,且a≠1，M>0,N>0 若a>0,且a≠1；b>0;c>0,且c≠1，则有logb log,(MN)= 性质 M log.N- logM”= (n∈R) 关键能力 攻重难 归纳提升：利用对数 ●题型一利用对数的运算性质化简求值 运算性质化简求值 (1)“收”：将同底 例1.计算下列各式的值： 的两个对裁的和 )bg,(2g2xf):63%分+号影8+g5-g20+s2 (差)合为积（商） 的对裁，即公式逆用. (2)“拆”：将积 (商)的对裁拆成同 底的两个对裁的和 (差)，即公式的 正用. [归纳提升] (3)“凑”：将同底 数的对裁凑成特殊 】对点训练1 值，如利用lg2+lg5 计算下列各式的值： =1,进行计算或化 (1)0gv27+1g号-lg4:(2)(lg52+g2x1g50. 简. ●097 ●题型二对数的运算性质的应用 例2.用1og,,lgy,logz表示： (1)log (xy2);(2)log (xy);(3)log. 归纳提升： 对对数式进行计算、 化简时，一要注意准 确应用对数的性质和 运算性质。二要注意 取值范围对特号的 [归纳提升]限制. 】对点训练2 用logx,logy,logm名表示下列各式： a0g(y）:2gg 归纳提升：关于换底 公式的用途和本质 (1)换底公式的主要 用途在于将一般对数 ●题型三换底公式的应用 式化为常用对裁或自 例3.(1)计算1og25·lg8·logs 然对数，然后查表求 值，以此来解决对裁 (2)若log34·log8·logsm=log42,求m的值 求值的问题. [分析]（1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？ (2)换底公式的本质 (2)等式左边前一个对数的真数是相邻后一个对数的底数，利用换底 是化异底为同底，这 是解决对裁问题的基 公式很容易进行约分求解m的值. 本方法 (3)在运用换底公式 时，若能结合底裁间 的关系恰当选用一些 重要的结论，如logb =log a;log,a"=n logb”=lbgb;lg2+ lg5=1等，将会达到 [归纳提升] 事半功倍的效果. 098 对点训练3 计算下列各式的值： (1)1ogs9·1og2z32; (2)1og27; 1 1 (3)108125·log32·1b8:3 ●易错警示忽视真数大于零致误 例4解方程：og:(x+1)-log(x+4)=l. [错解]原方程变形为10g(x+1)-1g,(x+4)=1, .log2(x+1)-1og2√x+4=1, 1824=1682, x+1=22-2x-15=0,x=-3或x=5, √x+4 故原方程的解为x=-3或x=5. [辨析]解题过程中忽视对数og。W中真数N必须大于0时对数才有意义.实际上，在解答 此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义.另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要 谨慎，以防出错. [正解] [点评]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增 根故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，也可以像本题的求解过程这样，在 限制条件下去求解. 课堂检测 固双基 1.2log510+log0.25= ( (2)(1og23+logs9)(1og34+log8+log32). A.0 B.1 C.2 D.4 2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b=log6c,则 A.a=bc B.b2=ac C.c=ab D.c2=ab 3.Hlog.12-log, 4.计算下列各式的值： 夯基提能作业 (1)2lg5+lg4+em2+log2√2； 请同学们认真完成练案[29]