第4章 1 对数的概念(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

第四章　 对数运算与对数函数 § １　 对数的概念 素养目标 １. 能结合指数幂的运算抽象出对数的概念. (数学抽象) ２. 能从教材实例中了解对数的相关概念ꎬ常用对数、自然对数. (数学抽象) ３. 能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值. (数学运算) 学法解读 　 　 在本节学习中ꎬ利用实例使学生由指数式向对数式的转化ꎬ从而引出对数的概念. 学生应 由指数式与对数式的互化ꎬ提升运算能力及逻辑推理能力. 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 知 识 知识点 １ 对数的概念 　 　 (１)定义: 一般地ꎬ如果 ａ(ａ > ０ꎬ且 ａ≠１)的 ｂ 次幂等 于 Ｎꎬ即 ａｂ ＝ Ｎꎬ那么数 ｂ 称为以 ａ 为底 Ｎ 的对 数ꎬ记作 ｌｏｇａＮ ＝ ｂꎬ其中 ａ 叫作对数的底数ꎬＮ 叫 作真数. (２)特殊对数: 常用对数:以 １０ 为底ꎬ记作 　 　 　 　 ꎻ 自然对数:以 ｅ 为底ꎬ记作 　 　 　 　 . (３)指数与对数的关系: 当 ａ > ０ꎬ且 ａ≠１ 时ꎬａｂ ＝ Ｎ⇔ 　 　 　 　 . (４)对数恒等式:ａｌｏｇａＮ ＝ Ｎ. 　 　 思考１:(１)式子 ｌｏｇｍＮ 中ꎬ底数ｍ 的范围是 什么? 　 　 (２)对数式 ｌｏｇａＮ 是不是 ｌｏｇａ 与 Ｎ 的乘积? 知识点 ２ 对数的基本性质 　 　 (１)负数和 ０ 没有对数. (２)ｌｏｇａ１ ＝ 　 　 　 　 . (３)ｌｏｇａａ ＝ 　 　 　 　 . 思考 ２:请你利用对数与指数间的关系证明 (１)(２)(３)这三个结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 110 {#{QQABLYaAoggAABAAAQgCQwVwCgGQkBCAACoOhAAEsAIBwBNABAA=}#} 基 础 自 测 １. 将 ａｂ ＝ Ｎ 化为对数式是 ( Ｂ ) Ａ. ｌｏｇｂａ ＝ Ｎ Ｂ. ｌｏｇａＮ ＝ ｂ Ｃ. ｌｏｇＮｂ ＝ ａ Ｄ. ｌｏｇＮａ ＝ ｂ ２. 若 ｌｏｇ８ｘ ＝ － ２ ３ ꎬ则 ｘ 的值为 ( Ａ ) Ａ. １４ Ｂ. ４ Ｃ. ２ Ｄ. １ ２ ３. 对数式 ｌｏｇａ８ ＝ ３ 改写成指数式为 ( Ｄ ) Ａ. ａ８ ＝ ３ Ｂ. ３ａ ＝ ８ Ｃ. ８３ ＝ ａ Ｄ. ａ３ ＝ ８ ４. 若 ｌｏｇ２ ｘ － １ ２ ＝ １ꎬ则 ｘ ＝ 　 　 　 　 . ５. 若 ｌｎ ｅ －２ ＝ － ｘꎬ则 ｘ ＝ 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 对数的定义 　 　 典例 １ (１)在对数式 ｙ ＝ ｌｏｇ(ｘ －２) (４ － ｘ)中ꎬ实数 ｘ 的取值范围是 　 　 　 　 　 　 　 . (２)将下列指数式化为对数式ꎬ对数式化为 指数式. ①５４ ＝６２５ꎻ②ｌｏｇ２１６ ＝４ꎻ③１０ －２ ＝０.０１ꎻ ④ｌｏｇ ５１２５ ＝６. [分析] 　 (１)底数大于 ０ 且不等于 １ꎬ真数 大于 ０ꎬ对数式才有意义. (２)由指、对数式互化的方法进行互化. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 １. 指数式与对数式互化的方 法技巧 (１)指数式化为对数式:将指数式的幂作为 真数ꎬ指数作为对数ꎬ底数不变ꎬ写出对数式. (２)对数式化为指数式:将对数式的真数作 为幂ꎬ对数作为指数ꎬ底数不变ꎬ写出指数式. ２. 互化时应注意的问题 (１)利用对数式与指数式间的互化公式互 化时ꎬ要注意字母的位置改变. (２)对数式的书写要规范:底数 ａ 要写在符 号“ ｌｏｇ”的右下角ꎬ真数正常表示. 对点训练❶ 将下列指数式化为对数 式ꎬ对数式化为指数式: (１)４２ ＝ １６ꎻ (２)１