第3章 指数运算与指数函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 指数运 算与指 数函数 指数及 其运算 → ｎ 次方根与根式→ ｎ 次方根及其记法→ 根式及其性质→ 指数幂→ 整数指数幂→ 无理数指数幂→ 分数指数幂:ａ ｍ ｎ ＝ ｎ ａｍꎬａ－ ｍ ｎ ＝ １ ａ ｍ ｎ ＝ １ｎ ａｍ (ａ > ０ꎬｍꎬｎ ∈Ｎ＋ꎬｎ > １ꎬ且ｍꎬｎ 互素) → 运算 性质: ①ａαａβ ＝ ａα＋βꎻ ②(ａα) β ＝ ａαβꎻ ③(ａｂ) α ＝ ａαｂα → 指数函数→ 定义:ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ꎬ且 ａ ≠１)→ 图象和性质→ 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １.指数的重要公式与运算性质 (１)根式的两个重要公式 ｎ ａｎ ＝ ａꎬｎ ＝ ２ｋ － １(ｋ∈Ｚ)ꎬ ｜ ａ ｜ ꎬｎ ＝ ２ｋ(ｋ∈Ｚ) .{ ( ｎ ａ) ｎ ＝ ａ(ａ 必须使 ｎ ａ有意义) . (２)分数指数幂的意义 ①ａ ｍ ｎ ＝ ｎ ａｍ(ａ > ０ꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗ꎬｎ > １)ꎻ②ａ － ｍ ｎ ＝ １ ａ ｍ ｎ ＝ １ｎ ａｍ (ａ > ０ꎬｍꎬｎ∈Ｎ∗ꎬｎ > １) . (３)实数指数幂的运算性质 ①ａα􀅰ａβ ＝ ａα ＋ β(ａ > ０ꎬαꎬβ∈Ｒ)ꎻ ②(ａα) β ＝ ａαβ(ａ > ０ꎬαꎬβ∈Ｒ)ꎻ ③(ａｂ) α ＝ ａαｂα(ａ > ０ꎬｂ > ０ꎬα∈Ｒ) . ２.指数函数的图象与性质 指数函数 ｙ ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１) ａ > １ ０ < ａ < １ 图象 定义域 Ｒ 值域 (０ꎬ ＋ ∞ ) 性质 过定点(０ꎬ１) 当 ｘ > ０ 时ꎬｙ > １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬ０ < ｙ < １ 当 ｘ > ０ 时ꎬ ０ < ｙ < １ꎻ 当 ｘ < ０ 时ꎬｙ > １ 在 Ｒ 上是单调 增函数 在 Ｒ 上是单调 减函数 底数 大小 的比 较　 ａ > ｂ > １ > ｃ > ｄ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 107 {#{QQABJYaEggAgAABAAAhCQwEACgGQkBAACKoOxBAIoAIBABNABAA=}#} 素养突破􀅰提技能 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 数学抽象 核心素养􀈀 　 　 典例 １ (１)(多选题)以 ｘ 为自变量的 四个函数中ꎬ是指数函数的为 ( 　 ) Ａ. ｙ ＝ ( ３ ＋ １) ｘ Ｂ. ｙ ＝ (１ － ２) ｘ Ｃ. ｙ ＝ ３ｘ ＋１ Ｄ. ｙ ＝ πｘ (２)若函数 ｆ(ｘ) ＝ １２ ａ － ３ æ è ç ö ø ÷􀅰ａｘ 是指数函 数ꎬ则ｆ １２ æ è ç ö ø ÷的值为 ( Ｄ ) Ａ. ２ Ｂ. － ２ Ｃ. － ２ ２ Ｄ. ２ ２ [归纳提升] 　 １. 判断一个函数是指数函数 的方法 (１)判断的依据是指数函数的定义ꎬ即函数 解析式的结构特征. (２)有些函数需要对解析式变形后判断ꎬ如 ｙ ＝ １ ２ｘ ＝ １２ æ è ç ö ø ÷ ｘ 是指数函数. ２. 求指数函数解析式的步骤 (１)设指数函数的解析式为 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ(ａ > ０ 且 ａ≠１) . (２)利用已知条件求底数 ａ. (３)写出指数函数的解析式. 数学运算 核心素养􀈁 　 　 典例 ２ ( １ ) 计 算: ２ ３５ æ è ç ö ø ÷ ０ ＋ ２ －２ 􀅰 ２ １４ æ è ç ö ø ÷ － １２ － (０. ０１) ０. ５ ＝ 　 　 　 　 ꎻ 　 　 ( ２ ) 化 简: ３ ａ ７ ２ ａ －３ ÷ ３ ａ －８ ３ ａ１５ ÷ ３ ａ －３ ａ －１ . [分析] 　 将根式化为分数指数幂的形式ꎬ 利用分数指数幂的运算性质计算. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋�