第3章 1 指数幂的拓展(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

第三章　 指数运算与指数函数 § １　 指数幂的拓展 素养目标 １. 能从教材实例中抽象出根式的概念. (数学抽象) ２. 能结合教材探究总结出根式的性质. (数学运算) ３. 能从教材实例中抽象出分数指数幂的意义. (数学抽象) ４. 结合教材实例了解无理数指数幂的意义. (数学抽象) 学法解读 　 　 本节的重点是分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的互化运算ꎬ了解指数幂的拓展过程. 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 知 识 知识点 １ ｎ 次方根 　 　 如果 ｘｎ ＝ ａꎬ那么 ｘ 叫 ａ 的 ｎ 次方根ꎬ其中 ｎ > １ꎬｎ∈Ｎ∗ . 可用下表表示: ｎ 为奇数 ｎ 为偶数 ａ∈Ｒ ａ > ０ ａ ＝ ０ ａ < ０ ｘ ＝ 　 　 　 　 ｘ ＝ 　 　 　 ｘ ＝ ０ 不存在 　 　 思考 １:正数 ａ 的 ｎ 次方根一定有两个吗? 知识点 ２ 根式 　 　 (１)定义:式子 　 　 　 　 叫作根式ꎬ这里 ｎ 叫作 根指数　 ꎬａ 叫作 被开方数　 . (２)性质:(ｎ > １ꎬ且 ｎ∈Ｎ∗) ①( ｎ ａ) ｎ ＝ ａ. ② ｎ ａｎ ＝ ａꎬｎ 为奇数ꎬ ｜ ａ ｜ ꎬｎ 为偶数.{ 思考２:( ｎ ａ)ｎ 与 ｎ ａｎ中的字母 ａ 的取值范围 是否一样? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 094 {#{QQABLYaAogiIAAIAAQhCQwFACAKQkBCACKoOBAAMsAIBQBNABAA=}#} 知识点 ３ 分数指数幂的意义(ａ > ０ꎬｍꎬｎ∈ Ｎ∗ꎬ且 ｎ > １) 正分数 指数幂 ａ ｍ ｎ ＝ ｎ ａｍ 负分数 指数幂 ａ － ｍ ｎ ＝ １ ａ ｍ ｎ ＝ １ｎ ａｍ ０ 的分数 指数幂 ０ 的正分数指数幂等于 ０ꎬ０ 的 负分数指数幂没有意义 　 　 思考 ３:为什么分数指数幂的底数规定 ａ > ０? 知识点 ４ 无理数指数幂 　 　 一般地ꎬ给定正数 ａꎬ对于任意的正无理数 αꎬａα 是一个实数. 规定:ａ － α ＝ １ ａα . 　 　 思考 ４:指数幂是怎样从正整数指数幂推广 到实数指数幂的? 基 础 自 测 １. ３ － ８等于 ( Ｂ ) Ａ. ２ Ｂ. － ２ Ｃ. ± ２ Ｄ. － ８ ２. 下列各式正确的是 ( Ａ ) Ａ. ( ３ ａ) ３ ＝ ａ Ｂ. ( ４７) ４ ＝ － ７ Ｃ. ( ５ ａ) ５ ＝ ｜ ａ ｜ Ｄ. ６ ａ６ ＝ ａ ３. ４ － ３ ２ 可化为 ( Ｃ ) Ａ. ８ Ｂ. ２ ４ ３ Ｃ. １８ Ｄ. ２ ３ ４ ４. 若 ｎ <ｍ <０ꎬ则 ｍ２ ＋２ｍｎ ＋ ｎ２ － ｍ２ －２ｍｎ ＋ ｎ２ 等于 ( Ｃ ) Ａ. ２ｍ Ｂ. ２ｎ Ｃ. － ２ｍ Ｄ. － ２ｎ ５. 若 ６ ６ － ｘ有意义ꎬ则实数 ｘ 的取值范围为 　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型一 ｎ 次方根的概念 　 　 典例 １ (１)１６ 的平方根为 　 　 　 　 ꎬ － ２７ 的 ５ 次方根为 　 　 　 　 ꎻ (２)已知 ｘ７ ＝ ６ꎬ则 ｘ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (３)若 ４ ｘ － ２有意义ꎬ则实数 ｘ 的取值范围 是 　 　 　 　 . [分析] 　 解答此类问题应明确 ｎ 次方根中 根指数对被开方数的要求及 ｎ 次方根的个数 要求. [归纳提升] 　 (１)任意实数的奇次方根只 有一个ꎬ正数的偶次方根有两个且互为相反数. (２)( ｎ ａ)ｎ 是实数 ａ 的 ｎ 次方根的 ｎ 次幂ꎬ其 中实数 ａ 的取值由 ｎ 的奇偶性决定. 　 　 对点训练❶ 计算下列各值: (１)２７ 的立方根是 　 　 　 　 ꎻ (２)２５６ 的 ４ 次算术方根是 　 　 　 　 ꎻ (３)３２ 的 ５ 次方根是 　 　 　 　 . 题型二 利用根式的性质化简或求值 　 　 典例 ２ ( １ ) ３ ＋２ ２ ＋ ３ －２ ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 . ( ２ ) ５ ＋ ２