第2章 4.1 函数的奇偶性(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

§ ４　 函数的奇偶性与简单的幂函数 ４. １　 函数的奇偶性 素养目标 １. 理解奇函数、偶函数的概念. (数学抽象) ２. 掌握判断某些函数奇偶性的方法. (逻辑推理) ３. 掌握奇偶函数的图象特征. (直观想象) ４. 会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性. (逻辑推理) 学法解读 １. 学习本节知识要注意结合前面所学的知识ꎬ如单调性、函数图象、解析式等ꎬ加强它们的 联系. ２. 学生应理解“奇偶性”的实质ꎬ也就是图象的对称性:是关于原点的中心对称还是关于 ｙ 轴 的轴对称. 必备知识􀅰探新知 基 础 知 识 知识点 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 一般地ꎬ设函数 ｆ(ｘ)的定义域是 Ａꎬ如 果对任意的 ｘ∈Ａꎬ有 － ｘ∈Ａ 结论 ｆ( － ｘ) ＝ 　 　 　 　 ｆ( － ｘ) ＝ 　 　 　 图象 特点 关于 　 　 　 　 对称 关于 　 　 　 对称 　 　 思考: (１) 如果定义域内存在 ｘ０ꎬ满足 ｆ( － ｘ０) ＝ ｆ(ｘ０)ꎬ函数 ｆ(ｘ)是偶函数吗? (２)函数的奇偶性定义中ꎬ对于定义域内任 意的 ｘꎬ满足ｆ( － ｘ) ＝ ｆ(ｘ)或 ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(ｘ)ꎬ 那么奇、偶函数的定义域有什么特征? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 自 测 １. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( Ｂ ) ２. 下列函数是偶函数的是 ( Ａ ) Ａ. ｙ ＝ ２ｘ２ － ３ Ｂ. ｙ ＝ ｘ３ Ｃ. ｙ ＝ ｘ２ꎬｘ∈[０ꎬ１] Ｄ. ｙ ＝ ｘ ３. (２０２２􀅰南阳市高一期中测试)已知 ｆ( ｘ) ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ 是定义在[ａ － １ꎬ２ａ]上的偶函数ꎬ则 ａ ＋ ｂ 的值为 ( Ｂ ) Ａ. ０ Ｂ. １３ Ｃ. １ Ｄ. ２ ４. 已知 ｙ ＝ ｆ( ｘ)ꎬｘ∈( － ａꎬａ)ꎬＦ( ｘ) ＝ ｆ( ｘ) ＋ ｆ( － ｘ)ꎬ则Ｆ(ｘ)是 ( Ｂ ) Ａ. 奇函数 Ｂ. 偶函数 Ｃ. 既奇又偶函数 Ｄ. 非奇非偶函数 ５. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ａｘ 的图象经过点(２ꎬ１) . (１)求 ａ 的值ꎻ (２)判断 ｆ(ｘ)的奇偶性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 {#{QQABLYYEoggIABAAAQgCQwVwCAGQkAAACCoOBAAEsAIBAANABAA=}#} 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 函数奇偶性的判断 　 　 典例 １ 判断下列函数的奇偶性: (１) ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ １ꎻ (２) ｆ(ｘ) ＝ ｜ ｘ － ２ ｜ ＋ ｜ ｘ ＋ ２ ｜ ꎻ (３) ｆ(ｘ) ＝ １ ２ ｘ ２ ＋ １(ｘ > ０)ꎬ － １２ ｘ ２ － １(ｘ < ０) . ì î í ï ï ï ï [分析] 　 (１)函数具备奇偶性时ꎬ函数的 定义域有什么特点? (２)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关 键点? 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [注意] 　 ①由于这里的 － ｘ < ０ꎬ因此应将 － ｘ 代入ｆ(ｘ) ＝ － １２ ｘ ２ － １ꎻ②由于这里的 － ｘ > ０ꎬ因此应将 － ｘ 代入 ｆ(ｘ) ＝ １２ ｘ ２ ＋ １. [归纳提升] 　 判断函数奇偶性的方法 (１)定义法: (２)图象法:即若函数的图象关于原点对称ꎬ则 函数为奇函数ꎻ若函数图象关于 ｙ 轴对称ꎬ则函数为 偶函数.此法多用在解选择题、填空题中. 对点训练❶ 判断下列函数的奇偶性: (１) ｆ(ｘ) ＝ １ｘ ꎻ (２) ｆ(ｘ) ＝ － ３ｘ２ ＋ １ꎻ (３) ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ｘ(ｘ <