第2章 3 函数的单调性和最值(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

§ ３　 函数的单调性和最值 素养目标 １. 根据一次函数ꎬ二次函数了解并理解函数单调性的概念. (数学抽象) ２. 会利用函数图象判断一次函数ꎬ二次函数的单调性. (直观想象) ３. 理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题. (数据分析) ４. 能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性ꎬ掌握利用单调性定义判断、证明函 数单调性的方法. (逻辑推理) ５. 掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法. (数据分析) 学法解读 １. 函数单调性的学习ꎬ学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质. ２. 单调性的有关概念比较抽象ꎬ要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数 等)加深理解其含义及应用. ３. 应少做偏题、怪题ꎬ避免烦琐的技巧训练. 第 １ 课时　 函数的单调性 必备知识􀅰探新知 基 础 知 识 知识点 １ 函数的单调性 函数 增函数 减函数 条件 设函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为 Ｄꎬ对于任 意 ｘ１ꎬｘ２∈Ｄꎬ当 ｘ１ < ｘ２ 时ꎬ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 结论 ｙ ＝ ｆ(ｘ)是增函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)是减函数 当 Ｉ 是定义域 Ｄ 上 的一个区间时ꎬ函 数 ｙ ＝ ｆ( ｘ)在区间 Ｉ 上单调递增 当 Ｉ 是定义域 Ｄ 上 的 一 个 区 间 时ꎬ函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 在区间 Ｉ 上单调 递减 　 　 思考 １:在函数单调性的定义中ꎬ能否去掉 “任意”? 知识点 ２ 函数的单调性与单调区间 　 　 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在 　 　 　 　 上是单调递增或 单调递减ꎬ则函数在区间 Ｄ 上具有(严格的)单 调性ꎬ区间 Ｄ 叫作函数的单调区间. 思考 ２:区间 Ｄ 一定是函数的定义域吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 075 {#{QQABJYYAggAoAABAAAhCQwEACAGQkACAAKoORBAIoAIBwANABAA=}#} 知识点 ３ 函数的最大(小)值 　 　 设函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域为 Ｄꎬ若存在实数 Ｍꎬ对所有的 ｘ∈Ｄꎬ都有 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ꎬ 且存在 ｘ０∈Ｄꎬ使得 　 　 　 　 ꎬ则称 Ｍ 为函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的最大(小)值. 　 　 思考３:函数 ｆ(ｘ) ＝ － ｘ２ 的定义域为 Ｒꎬ存在 实数１ꎬ对所有的 ｘ∈Ｒꎬ都有 ｆ(ｘ)≤１.那么 １ 是函 数ｆ(ｘ) ＝ － ｘ２ 的最大值吗? 为什么? 基 础 自 测 １.函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在区间(ａꎬｂ)上是减函数ꎬｘ１ꎬｘ２∈ (ａꎬｂ)ꎬ且ｘ１ < ｘ２ꎬ则有 ( Ｂ ) Ａ. ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２)　 　 　 　 　 Ｂ. ｆ(ｘ１) > ｆ(ｘ２) Ｃ. ｆ(ｘ１) ＝ ｆ(ｘ２) Ｄ.以上都有可能 ２.下列函数中ꎬ在区间(０ꎬ２)上为增函数的是 ( Ｂ ) Ａ. ｙ ＝３ － ｘ Ｂ. ｙ ＝ ｘ２ ＋１ Ｃ. ｙ ＝ １ｘ Ｄ. ｙ ＝ － ｘ ２ ３.函数 ｆ(ｘ)在[ － ２ꎬ ＋ ∞)上的图象如图所示ꎬ则 此函数的最大、最小值分别为 ( Ｃ ) Ａ.３ꎬ０ Ｂ. ３ꎬ１ Ｃ. ３ꎬ无最小值 Ｄ.３ꎬ －２ ４.若定义在Ｒ上的函数 ｆ(ｘ)对任意两个不相等的 实数 ａꎬｂꎬ总有 ｆ(ａ) － ｆ(ｂ)ａ － ｂ >０ 成立ꎬ则必有 ( Ａ ) Ａ. ｆ(ｘ)在Ｒ上是增函数 Ｂ. ｆ(ｘ)在Ｒ上是减函数 Ｃ.函数 ｆ(ｘ)是先增后减 Ｄ.函数 ｆ(ｘ)是先减后增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题 型 探 究 题型一 由图象求函数的单调区间 　 　 典例１ 如图为函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)ꎬｘ∈[ －４ꎬ７] 的图象ꎬ指出它的单调区间. [分析]　 (１)函数 ｆ(ｘ)在 Ｄ 上单调递增(或 单调递减)表现在其图象上有怎样的特征? (２)单调增、减区间与函数在该区间上为增、 减函数一样吗? 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋�