第1章 预备知识 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

章末梳理 知识结构􀅰理脉络 预备 知识 常 用 逻 辑 用 语 必要条件与充分条件 必要条件 性质定理 充分条件 判定定理 充要条件 数学定义 全称量词与存在量词 量词 全称量词 全称量词命题 存在量词 存在量词命题 含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 集合 表示方法 列举法 图示法 描述法 概念 元素性质 确定性 无序性 互异性 关系 属于关系 包含关系 子集 相等关系 真子集 运算 并集 补集 交集 不 等 式 不等式的性质 三个基本事实:ａ > ｂ⇔ａ － ｂ > ０ꎬａ ＝ ｂ⇔ａ － ｂ ＝ ０ꎬａ < ｂ⇔ａ － ｂ < ０ 不等式的性质 比较实数的大小 基 本 不 等 式 ａ ＋ ｂ ２ ≥ ａｂ (ａ > ０ꎬｂ > ０) 基本不等式的变式与拓展 最值定理 (ａ > ０ꎬｂ > ０) 若 ａ ＋ ｂ ＝ ｓ(定值)ꎬ则当 ａ ＝ ｂ 时ꎬａｂ 取得最大值 １４ ｓ ２ 若 ａｂ ＝ ｐ(定值)ꎬ则当 ａ ＝ ｂ 时ꎬａ ＋ ｂ 取得最小值 ２ ｐ 求最值的 常用方法 基本不等 式的应用 比较实数的大小 求实际应用问题的最值 证明不等式 一元 二次 函数 与一 元二 次不 等式 一元二次函数 一元二次 不等式及 其解法 一元二次不等式的概念 三个“二次”(一元二次方程的根、一元二次函数的 图象、一元二次不等式的解集) 之间的关系 一元二次不等式的解法 利用三个“二次” 之间的关系 不含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法 一元二次不等式的应用 050 {#{QQABLYaAggAgAhAAAQgCQwUwCgGQkAEACIoOxBAIsAIBQRNABAA=}#} 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １. 集合中的元素具有确定性、互异性和无 序性ꎬ你能结合例子说明这些特性吗? 例如ꎬ确定性:２∈Ｑꎬ但 ２∉Ｑꎻ 互异性:给定集合{ｘꎬｘ２}ꎬ则 ｘ≠ｘ２ꎬ即 ｘ≠０ꎬ１ꎻ 无序性:{１ꎬ２ꎬ３} ＝ {３ꎬ２ꎬ１} . ２. 你能用集合表示平面内线段 ＡＢ 的垂直 平分线吗? 结合集合的描述法谈谈你的体会. 平面内线段 ＡＢ 的垂直平分线可以表示为 {Ｐ ｜ ｜ＰＡ ｜ ＝ ｜ＰＢ ｜ } . ３. 用联系的观点看问题ꎬ可以使我们更深 刻地理解数学知识. 本章中ꎬ我们类比数与数的 关系和运算研究了集合与集合的关系和运算. 你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有 什么意义? 你能类比数的减法运算给出集合的 减法运算吗? 集合的减法运算:∁ＵＡ ＝ {ｘ ｜ ｘ∈Ｕꎬ且 ｘ∉Ａ}ꎬ 或 Ａ － Ｂ ＝ {ｘ ｜ ｘ∈Ａ 且 ｘ∉Ｂ} . ４. 对给定的 ｐ 和 ｑꎬ如何判定 ｐ 是 ｑ 的充分 不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件? 你能举例说明吗? 熟记判断充分、必要条件的 ２ 种方法 方法 解读 适合题型 定 义 法 第一步ꎬ分清条件和结论: 分清谁是条件ꎬ谁是结论ꎻ 第二步ꎬ找推式:判断“ｐ⇒ ｑ”及“ｑ⇒ｐ”的真假ꎻ第三 步ꎬ下结论:根据推式及定 义下结论 定义法是 判 断 充 分、 必 要 条件最根 本、 最 适 用的方法 集 合 法 记条件 ｐꎬｑ 对应的集合分 别是 ＡꎬＢ. 若 Ａ⫋Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件ꎻ 若 Ａ⫌Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的必要 不充分条件ꎻ若 Ａ ＝ Ｂꎬ则 ｐ 是 ｑ 的充要条件 适用于“当 所要判断 的命题与 方程的根、 不等式的 解集以及 集合有关ꎬ 或所描述 的对象可 以用集合 表 示 ” 的 情况 　 　 ５. 如何否定含有一个量词的全称量词命题 和存在量词命题? 你能举例说明吗? 否定含有一个量词的命题分两步: (１)改写量词:找到命题所含的量词ꎬ没有 量词的要结合命题的含义加上量词ꎬ再改变 量词. (２)否定结论:对原命题的结论进行否定. ６. 作差法比较大小 作差法的依据是 ａ － ｂ > ０⇔ａ > ｂꎻａ － ｂ ＝ ０ ⇔ａ ＝ ｂꎻａ － ｂ < ０⇔ａ < ｂ. 步骤:作差→变形→判断差的符号→得出 结论. 注意:只需要判断差的符号ꎬ至于差的值究 竟是多少无关紧要ꎬ通常将差化为完全平方式 的形式或多个因式的积的形式. ７. 不等式基本性质中注意问题 (１)不等式的基本性质中性质 ５ 要注意符 号ꎬ另外还有一些常用的结论ꎬ同学们也要掌 握. 如:“ａ > ｂ 且 ａｂ > ０ꎬ则１ａ < １ ｂ ”ꎬ“ａ > ｂꎬｃ < ｄꎬ 则 ａ － ｃ > ｂ － ｄ”ꎬ“ａ > ｂ > ０ꎬｃ > ｄ > ０ 则 ａｄ > ｂ ｃ ” . 在使用这些性质时ꎬ如果不满足条件ꎬ要注意符 号的变换. (２)不等式的性质中ꎬ对表达不等式性质的 各不等式要注意“箭头