第1章 4.3 一元二次不等式的应用(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

课堂检测􀅰固双基 １. 求下列不等式的解集: (１)(ｘ ＋ ２)(ｘ － ３) > ０ꎻ(２)３ｘ２ － ７ｘ≤１０ꎻ (３) － ｘ２ ＋ ４ｘ － ４ < ０ꎻ(４)ｘ２ － ｘ ＋ １４ < ０ꎻ (５) － ２ｘ２ ＋ ｘ≤ －３ꎻ(６)ｘ２ － ３ｘ ＋ ４ > ０. ２. 当自变量 ｘ 在什么范围取值时ꎬ下列函数的 值等于 ０? 大于 ０? 小于 ０? (１)ｙ ＝ ３ｘ２ － ６ｘ ＋ ２ꎻ (２)ｙ ＝ ２５ － ｘ２ꎻ (３)ｙ ＝ ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ １０ꎻ (４)ｙ ＝ － ３ｘ２ ＋ １２ｘ － １２. 请同学们认真完成练案[１３] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４. ３　 一元二次不等式的应用 关键能力􀅰攻重难 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题 型 探 究 题型一 不等式的恒成立问题 　 　 典例 １ 已知不等式 ｍｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ － ２ < ０ꎬ若对于所有的实数 ｘ 不等式恒成立ꎬ求 ｍ 的 取值范围. [分析] 　 本题的易错之处在于忽略对二次 项系数为 ０ 的讨论ꎬ即使不符合题意ꎬ也要规范 地解答ꎬ这是解题过程的完整性. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 求不等式恒成立问题中参数 范围的常用方法 １. 利用一元二次方程根的判别式解一元二 次不等式在 Ｒ 上的恒成立问题. 当未说明不等式为一元二次不等式时ꎬ有 (１)不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ > ０ 对任意实数 ｘ 恒 成立⇔ ａ ＝ ｂ ＝ ０ꎬ ｃ > ０{ 或 ａ > ０ꎬ Δ < ０.{ (２)不等式 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ < ０ 对任意实数 ｘ 恒 成立⇔ ａ ＝ ｂ ＝ ０ꎬ ｃ < ０{ 或 ａ < ０ꎬ Δ < ０.{ ２. 分离自变量和参变量ꎬ利用等价转化思 想将其转化为求函数的最值问题. 通过等价变形ꎬ将参变量分离出来ꎬ转化为 ｙ > ａ(或 < ａꎬ或≥ａꎬ或≤ａ)恒成立问题: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 047 {#{QQABLYaEogiIABJAAAgCQwEQCgGQkAAAAIoOQBAMsAIBQBNABAA=}#} (１)若 ｙ 在定义域内存在最大值 ｍꎬ则 ｙ < ａ (或 ｙ≤ａ)恒成立⇔ａ > ｍ(或 ａ≥ｍ)ꎻ (２)若 ｙ 在定义域内存在最小值 ｍꎬ则 ｙ > ａ (或 ｙ≥ａ)恒成立⇔ａ < ｍ(或 ａ≤ｍ) . 对点训练❶ 若关于 ｘ 的不等式 ａｘ２ ＋ (ａ － ２)ｘ － ２≤０恒成立ꎬ求实数 ａ 的取值范围. 题型二 一元二次方程根的分布 　 　 典例 ２ 已知方程 ８ｘ２ － (ｍ － １)ｘ ＋ ｍ － ７ ＝ ０ 有两实根ꎬ如果两实根都大于 １ꎬ求实数 ｍ 的取值范围. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 　 [归纳提升] 　 方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０) 的根的分布情况如下ꎬ其中 ｘ１ꎬ ｘ２ 为该方程 两根: (１)ｘ１ꎬｘ２ 一正一负⇔ｘ１ｘ２ < ０. (２)ｘ１ > ０ꎬｘ２ > ０⇔ Δ≥０ꎬ ｘ１ ＋ ｘ２ > ０ꎬ ｘ１ｘ２ > ０. ì î í ï ï ïï (３)ｘ１ < ０ꎬｘ２ < ０