第1章 3.2 基本不等式(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

３. ２　 基本不等式 素养目标 １. 了解基本不等式的代数和几何背景. (数学抽象) ２. 理解并掌握基本不等式及其变形. (逻辑推理) ３. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. (数学运算) ４. 会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式. (逻辑推理) ５. 会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题. (数学运算) 学法解读 １. 本节学习时ꎬ学生先复习完全平方公式(ａ － ｂ) ２ ＝ ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２ꎬ由(ａ － ｂ) ２≥０ 可得 ａ２ － ２ａｂ ＋ ｂ２≥０ꎬ即 ａ２ ＋ ｂ２≥２ａｂ. 然后以 ａꎬ ｂ分别代替 ａꎬｂ 推得基本不等式ꎬ从代数观点认识基本 不等式. ２. 借助教材“探究”中的问题ꎬ使学生从几何角度认识基本不等式. ３. 重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件ꎬ通过具体实例强化公式的应用技巧. 第 １ 课时　 基本不等式 必备知识􀅰探新知 基 础 知 识 知识点 １ 基本不等式 　 　 思考 １:(１)基本不等式中的 ａꎬｂ 只能是具 体的某个数吗? (２)基本不等式成立的条件“ａꎬｂ > ０”能省 略吗? 请举例说明. 知识点 ２ 基本不等式与最值 　 　 已知 ｘꎬｙ 都为正数ꎬ则 (１)若 ｘ ＋ ｙ ＝ ｓ( ｓ 为定值)ꎬ则当且仅当 ｘ ＝ ｙ 时ꎬ积 ｘｙ 取得最大值 　 　 　 　 . (２)若 ｘｙ ＝ ｐ(ｐ 为定值)ꎬ则当且仅当 ｘ ＝ ｙ 时ꎬ和 ｘ ＋ ｙ 取得最小值 　 　 　 　 . 思考 ２:应用基本不等式求最值的关键是 什么? 基 础 自 测 １. 判断正误(对的打“√”ꎬ错的打“ × ”) (１)两个不等式 ａ２ ＋ ｂ２≥２ａｂ 与ａ ＋ ｂ２ ≥ ａｂ成 立的条件是相同的. ( × ) (２)当 ａ > ０ꎬｂ > ０ 时ꎬａ ＋ ｂ≥２ ａｂ. ( √ ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 036 {#{QQABLYYAoggIAABAAAhCQwUgCgKQkBCAAAoOQBAEsAIBAANABAA=}#} (３)当 ａ > ０ꎬｂ > ０ 时ꎬａｂ≤ ａ ＋ ｂ２ æ è ç ö ø ÷ ２ . ( √ ) ２. 下列不等式正确的是 ( Ｃ ) Ａ. ａ ＋ １ａ≥２　 　 　 　 Ｂ. ( － ａ) ＋ － １ ａ æ è ç ö ø ÷≤－２ Ｃ. ａ２ ＋ １ ａ２ ≥２ Ｄ. ( － ａ)２ ＋ － １ａ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤－２ ３. 不等式 ａ２ ＋ １≥２ａ 中等号成立的条件是 　 　 　 　 　 　 　 . ４. 已知 ｘ > ０ꎬ求 ｘ ＋ １ｘ 的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 题 型 探 究 题型一 利用基本不等式判断命题真假 　 　 典例 １ 下列不等式一定成立的是 ( Ｃ ) Ａ. ｘ２ ＋ １４ > ｘ(ｘ > ０) Ｂ. ｘ ＋ １ｘ ≥２(ｘ≠０) Ｃ. ｘ２ ＋ １≥２ ｜ ｘ ｜ (ｘ∈Ｒ) Ｄ. １ ｘ２ ＋ １ > １(ｘ∈Ｒ) 　 　 [归纳提升] 　 利用基本不等式判断命题真 假的步骤 第一步:检查是否满足应用基本不等式的 条件ꎻ 第二步:应用基本不等式ꎻ 第三步:检验等号是否成立. 对点训练❶ 若 ａꎬｂ∈Ｒꎬ且 ａｂ > ０ꎬ则下 列不等式中ꎬ恒成立的是 ( Ｄ ) Ａ. ａ２ ＋ ｂ２ > ２ａｂ　 　 　 　 　 Ｂ. ａ ＋ ｂ≥２ ａｂ Ｃ. １ａ ＋ １ ｂ > ２ ａｂ Ｄ. ｂａ ＋ ａ ｂ ≥２ 题型二 利用基本不等式求最值 　 　 典例 ２ (１)已知 ｘ < ３ꎬ求 ｆ( ｘ) ＝ ４ｘ － ３ ＋ ｘ 的最大值ꎻ (２)已知 ｘꎬｙ 是正实数ꎬ且 ｘ ＋ ｙ ＝ ４ꎬ求 １ｘ ＋ ３ ｙ 的最小值. [分析] 　 (１)将所求代数式变形ꎬ构造出 基本不等式所满足的结构条件ꎬ从而运用基本 不等式求最值. (２)利用“１”的代换ꎬ结合不等式求解. 　 　 [尝试作答] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋