3.2.2 三、空间向量的数量积 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2.2空间向量的数量积 1 2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]. 当θ＝________时，两向量同向共线； 当θ＝________时，两向量反向共线； 当θ＝________时，两向量垂直 向量的夹角 1.夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作________． 〈a，b〉 0 注意： 由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即∥. 3 向量的数量积相关运算 (1)cos 〈a，b〉＝__________ (2)|a|＝________ (3)a⊥b⇔____________ 数量积的运算律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ____＝a·____ 交换律 a·b＝____________ 分配律 a·(b＋c)＝____________ (a≠0，b≠0) a·b＝0 (a·b) (λb) b·a a·b＋a·c 注：不满足结合律 向量的数量积 定义：已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos 〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝______________ 当θ为锐角时，·＞0 当θ为钝角时，·＜0 当θ为直角时，·0 |a||b|cos 〈a，b〉 反之：当·＞0，θ为锐角或零角 当·＜0，θ为钝角或平角 例题 1.设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　) A．a2＝|a|2 B．＝ C.(a·b)2＝a2·b2 D.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 投影向量与投影数量 1．投影向量：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度为：________________． 2．投影数量：若用a0表示与向量a(a≠0)，同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为_____________________.因此，称________________为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量，记为|b|cos 〈a，b〉＝＝a0·b. O A B B1 ||b|cos 〈a，b〉| |b|cos 〈a，b〉 ＝|b|cos 〈a，b〉a0 求投影数量 2.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，已知|AB|＝5，|AD|＝4，|AA′|＝3，则向量在方向上的投影数量为________，向量在方向的投影数量为________． 求向量的夹角 3. (1)如图，已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长都相等．E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值． 变式： （2）已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 求向量的模 4.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两之间的夹角均为60°，且||＝1，||＝|＝3，求|的值．   数量积的最值 5.平行六面体中，，， ，动点P在直线上运动，则的最小值为 . THANK YOU 13 $$